О портале "Математика. ру" arrow У реки arrow Измерить ширину реки
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Ни одна наука не укрепляет так веру в силу человеческого разума, как математика [331, с. 358].

 

Измерить ширину реки

Печать E-mail
11.03.2008 г.

Измерить ширину реки

 

Не переплывая реки, измерить ее ширину - так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дереза, не взбираясь на вершину. Неприступное расстояние измеряют теми же приемами, какими мы измеряли недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется промером другого расстояния, легко поддающегося непосред­ственному измерению.

Из многих способов решения этой задачи рассмотрим несколько наиболее простых.

1) Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 25). Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис. 26), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы ви­дели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на про­должении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок (перпендикулярно к прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D, покры­ваемую этими   булавками, т. е. лежащую   на прямой,

 

Image

 

 

Рис. 25. Измерение ширины реки булавочным прибором.

перпендикулярной  к  АС.   После  этого  воткните  в точку  С веху, покиньте это  место  и  идите  с   вашим   инструментом   вдоль прямой CD, пока не найдете

 

Image

 

Рис. 26. Первое положение                           Рис. 27. Второе положение булавочного

 булавочного  прибора.                       прибора.               

 

на ней такую точку Е (рис. 27), откуда  можно одновременно  покрыть   для   глаза   булавкой  b шест точки С, а булавкой а - точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором  угол С - прямой,  а  угол  Е равен острому  углу булавочого прибора, т. е. 1/2 прямого.   Очевидно,   и  угол А равен 1/2 прямого, т. е. АС=СЕ. Если вы измерите расстоя­ние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете расстояние АС, а отняв ВС, которое легко  измерить, определите  искомую  ширину  реки.

 

Image

 

Рис. 28. Пользуемся признаками равенства  треугольников.

 

Довольно неудобно и трудно держать в руке булавочный прибор неподвижно; лучше, поэтому прикрепить эту дощечку к палке с заостренным концом, которую и втыкать отвесно в землю.

2) Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи була­вочного прибора прямую CD под прямым углом к СА. Но дальше поступают иначе (рис. 28). На прямой CD отме­ряют равные расстояния СЕ и EF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в точке F с бу­лавочным прибором, намечают направление FG, перпендику­лярное   к  FCТеперь,   идя   вдоль  FGотыскивают на этой линии такую точку Н, из которой веха Е кажется покрыва­ющей точку А. Это будет означать, что точки Н, Е и А лежат на одной прямой.

Задача решена: расстояние FH разно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки (читатель, конечно, сам догадается, почему FH равно АС).

 

Image

 

Рис. 29. Пользуемся признаками подобия треугольников.

Этот способ требует больше места, чем первый; если местность позволяет осуществить оба приема, полезло про­верить один результат другим.

3) Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой CF не разные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например (рис. 29), отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и EFH здесь не разны, а подобны (имеют равные углы при неравных сторонах). Из подобия треугольников следует пропорция

AC:FH=CE:EF=4:1.

 

 

Image

 

Рис. 30. Когда катет равен половине гипотенузы.

 

Значит, измерив FH и умножив результат на 4, полу­чим расстояние АС, а, отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.

Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее  для  выполнения, чем предыдущий.

4) Четвертый способ основан на том свойстве прямоугольного треуголь­ника, что если один из его острых углов равен 30°, то противолежащий катет составляет половину ги­потенузы. Убедиться в правильности этого поло­жения очень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника ABC (рис.  30, слева) разен 30°; докажем, что в таком случае АС=1/2 АВ. Повернем треугольник ABC вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему первона­чальному положению (рис. 30, справа), образовав фигуру ABD; линия ACD - прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике ABD угол А = 60°,угол ABD, как составленный из двух углов по 300 тоже равен 60°. Значит, AD=BD как  стороны, лежащие против равных углов. Но АС ==1/2AD; следовательно, АС=1/2АВ.

 

Image

 

 

Подпись: Рис. 31. Схема применения пря¬моугольного треугольника с   уг¬лом в 30°.

 

 

 

 

Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. С этим прибором мы помещаемся в точке С (рис. 31) так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечают направление CD и отыскивают на нем такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к CD (это выполняется при помощи того же булавочного прибора). Легко сообразить, что расстояние СЕ-катет, лежащие против угла 30э,- равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, по­лучим искомую ширину АВ реки.

Вот четыре легко выполнимых приема, при помощи которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить ширину реки со вполне удовлетворительной точностью. Способов, требующих употребления более сложных приборов (хотя бы и самодельных), мы здесь рассматривать не будем.

 

 
« Пред.
Яндекс.Метрика