О портале "Математика. ру" arrow В лесу arrow По длине тени
Математический портал Математику.ру

Г. Вейль

Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям [246, с. 74].

 

По длине тени

Печать E-mail
11.03.2008 г.

По длине тени

Еще сейчас памятно мне то изумление, с каким смотрел я в первый раз на седого лесничего, который, стоя возле огромной сосны, измерял ее высоту маленьким карманным прибором. Когда он нацелился своей квадратной дощечкой в вершину дерева, я ожидал, что старик сейчас начнет взбираться туда с мерной цепью. Вместо этого он положил прибор обратно в карман и объявил, что измерение окончено. А я думал, еще не начиналось...

Я был тогда очень молод, и такой способ измерения, когда человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взби­раясь на верхушку, являлся в моих глазах чем-то вроде ма­ленького чуда. Лишь позднее, когда меня посвятили в начатки геометрии, понял я, до чего просто выполняются такого рода чудеса. Существует множество различных способов произво­дить подобные измерения при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался   ее   тенью.   Жрецы  и фараон,   собравшиеся   у   подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного при­шельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасывае­мой ею тени1). Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени...

Задача греческого мудреца представляется нам теперь детски-простой, но не будем забывать, что смотрим мы на нее с высоты геометрического здания, воздвигнутого уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тыся­челетий после его смерти. Заключенные в ней истины, извест­ные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения за­дачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника,- именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):

1)  что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно-что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2)  что сумма углов всякого треугольника (или, по крайней мере, прямоугольного) равна двум прямым углам.

 

1) Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.

Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был за­ключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в поло­вину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобед­ренный треугольник.

Этим простым способом очень удобно, казалось бы, поль­зоваться в ясный солнечный день для измерения одиноко стоя­щих деревьев, тень которых не сливается с тенью соседних. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент: Солнце у нас низко стоит над гори­зонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их пред­метов лишь в околополуденные часы летних месяцев. Поэтому способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в сол­нечный день  можно  было  пользоваться  любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из про­порции (рис. 1):

AB:ab - BC:bc,      

т. е. высота дерева во столько же раз больше вашей собст­венной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее  вашей тени  (или  тени  шеста).   Это  вытекает,

 

Image

Рис. 1. Измерение высоты дерева по тени.

 

конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и аbc (по двум углам).

Иные читатели возразят, пожалуй, что столь элементар­ный прием не нуждается вовсе в геометрическом обосновании: неужели и без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее? Дело, однако, не так просто, как кажется. Попробуйте применить это правило к теням, отбрасываемым при свете уличного фонаря или лам­пы,- оно не оправдается. На рис. 2 вы видите, что стол­бик АВ выше тумбы ab примерно втрое, а тень столбика больше тени тумбы (ВС:bс) раз в восемь. Объяснить, почему в данном случае способ применим, в другом нет, - невозможно без геометрии.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика