О портале "Математика. ру" arrow Значения arrow РЕШЕНИЕ
Математический портал Математику.ру

Г. Н. Николадзе

Полезность абстрактного построения вытекает из присущей ему простоты структуры и из согласованности его с фактами. Например, полезность теории относительности определяется тем, что ей присуща такая же простота, как и классической теории, в то время как фактов она объясняет больше [цит. по: 407, 1937, т. 85, № 2197, с. 131-132].

 

РЕШЕНИЕ

Печать E-mail
05.03.2008 г.

РЕШЕНИЕ

Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через

 

Image

 

число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а. Произведение обеих частей равно

 

Image

 

Ясно, что произведение взятых частей будет увели­чиваться при уменьшении х, т. е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произ­ведение будет при х=0, т. е. в случае, когда обе ча­сти равны а/2.

Итак, число надо разделить пополам: произ­ведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.

Рассмотрим тот же вопрос для   трех   чисел.

На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их  было наибольшим?

РЕШЕНИЕ

При решении этой задачи будем опираться на пре­дыдущую.

Пусть число а разбито на три части. Предположим

сначала, что ни одна из частей не равна а/3.   Тогда

среди них найдется часть, большая а/3 (все три не могут быть меньше а/3);   обозначим ее через x.

  Точно так же среди них найдется часть, меньшая а/3; обозначим ее через y.

 Числа х и у положительны. Третья часть будет, оче­видно, равна

 

Image

 

 

Числа

 

Image

 имеют ту же сумму, что и первые две части числа а, а разность между ними, т. е. х-у, меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х+у. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение

больше, чем произведение

 

Image

первых двух частей чи­сла а.

Итак, если первые две части числа а заменить числами

 

Image

 

а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.

Пусть теперь одна из частей уже равна у. Тогда две другие имеют вид

 

Image

 

Если мы эти две последние части сделаем равными а/3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным

Image

 

Итак, если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а3/27 т. е. чем произведение трех равных сомножи­телей, в сумме составляющих а.

Подобным же образом можно доказать эту тео­рему и для четырех множителей, для пяти и т. д.

Рассмотрим теперь более общий случай.

Найти, при каких значениях х и у выражение хр уq наибольшее, если х+у=а.

 

РЕШЕНИЕ

Надо найти, при каком значении х выражение

 

Image

 

достигает наибольшей величины.

Умножим это выражение на число

 

Image

. Получим новое выражение

 

Image

 

которое,   очевидно, достигает   наибольшей   величины тогда же, когда и первоначальное.

Представим полученное сейчас выражение в виде

 

Image

 

Сумма всех множителей этого выражения, равна

 

Image

 

т. е. величине постоянной.

На основании  ранее доказанного   (стр. 154-156) заключаем, что произведение

Image

 

достигает максимума при равенстве всех его отдель­ных множителей, т. е. когда

 

Image

 

Зная,   что   a-х=у,   получаем, переставив члены, пропорцию

 

Image

 

Итак, произведение хpуq при постоянстве суммы x+у достигает наибольшей величины тогда, когда

х:у = р:д.

 

Таким же образом можно доказать, что произве­дения

 

 

Image

 

 

при постоянстве сумм x+y + z, x+y+z+t и т. д. до­стигают наибольшей величины тогда, когда

 

 

Image

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика