О портале "Математика. ру" arrow Уравнения 2 степени arrow Алгебра лунного перелета
Математический портал Математику.ру

О. Де Морган

Сначала математика носила такой характер, что в алгебраических выкладках не было большой нужды, очень простые теоремы едва ли стоили того, чтобы переводить их на язык анализа. Этот более короткий язык стал необходим только после Эйлера в связи с теми новыми возможностями, которые открыл для науки этот великий математик. Начиная с Эйлера вычисления становятся все более и более необходимыми и вместе с тем все более трудными, по мере того как их начинают применять ко все более и более возвышенным разделам науки. В начале нашего века алгоритмы достигли такой степени сложности, что, если бы современные математики не придавали своим исследованиям ту стройность, при которой можно быстро, с одного взгляда охватить значительное число операций, всякое движение вперед стало бы невозможным [цит. по: 88, с. 144-145].

 

Алгебра лунного перелета

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Алгебра лунного перелета

Точно таким же способом, каким мы нашли точки равной слышимости двух систем громкоговорителей, можно найти и точки равного притяжения космической ракеты двумя небесными телами - Землей и Луной. Разыщем эти точки.

По закону Ньютона, сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению притягивающихся   масс   и   обратно  пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если масса Земли М, а расстояние ракеты от нее х, то сила, с какой Земля притягивает каждый грамм массы ракеты, выразится через

 

Image

 

где k - сила взаимного притяжения одного грамма одним граммом на расстоянии в 1 см.

Сила, с какой Луна притягивает каждый грамм ракеты в той же точке, равна

 

Image

 

где т - масса Луны, а l - ее расстояние от Земли (ракета предполагается находящейся между Землей и Луной, на прямой линии, соединяющей их центры), Задача требует, чтобы

 

Image

 

или

 

Image

 

Отношение -, как известно из астрономии, приближенно равно 81,5; подставив, имеем:

 

Image

 

откуда

Image

 

Решив уравнение относительно х, получаем:

 

Image

 

Как и в задаче о громкоговорителях, мы приходим к заключению, что на линии Земля - Луна существуют две искомые точки - две точки, где ракета должна одинаково притягиваться обоими светилами; одна на 0,9 расстояния между ними, считая от центра Земли, другая - на 1,12 того же расстояния. Так как расстояние l между центрами Земли и Луны =384 000 км, то одна из искомых точек отстоит от центра Земли на 346 000 км, другая - на 430 000 кмх

Но мы знаем (см. предыдущую задачу), что тем же свойством обладают и все точки окружности, про­ходящей через найденные две точки как через концы диаметра. Если будем вращать эту окружность около линии, соединяющей центры Земли и Луны, то она опишет шаровую поверхность, все точки которой бу­дут удовлетворять требованиям задачи.

 

Image

 

Диаметр этого шара, называемого сферой при­тяжения   (рис. 17) Луны, равен

1,12 l-0,9 l=0,22 l=84 000  км.

Распространено ошибочное мнение, будто бы для попадания ракетой в Луну достаточно попасть в ее сферу притяжения. На первый взгляд кажется, что если ракета очутится внутри сферы притяжения (об­ладая не слишком значительной скоростью), то она неизбежно должна будет упасть на поверхность Луны, так как сила лунного притяжения в этой области «превозмогает» силу притяжения Земли. Если бы это было так, то задача полета к Луне сильно облегчи­лась бы, так как надо было бы целиться не в саму Луну, поперечник которой виден на небе под углом 1/2°, а в шар диаметром 84 000 км, угловой размер которого равняется 12°.

Однако нетрудно показать ошибочность подобных рассуждений.

Допустим, что запущенная с Земли ракета, непрерывно теряющая свою скорость из-за земного притя­жения, оказалась внутри сферы притяжения Луны, имея нулевую скорость. Упадет ли она теперь на Луну? Ни в коем случае!

"Во-первых, и внутри сферы притяжения Луны про­должает действовать земное притяжение. Поэтому в стороне от линии Земля - Луна сила притяжения Луны не будет просто «превозмогать» силу притяже­ния Земли, а сложится с ней по правилу параллело­грамма сил и даст равнодействующую, направленную отнюдь не прямо к Луне (только на линии Земля - Луна эта равнодействующая была бы направлена прямо к центру Луны).

Во-вторых (и это самое главное), сама Луна не является неподвижной целью, и если мы хотим знать, как будет двигаться по отношению к ней ракета (не будет ли она на нее «падать»), то нужно учесть ско­рость ракеты относительно Луны. А эта скорость вовсе не равна нулю, так как сама Луна движется во­круг Земли со скоростью 1 км/сек. Поэтому скорость движения ракеты относительно Луны слишком велика для того, чтобы Луна могла притянуть к себе ракету или хотя бы удержать ее в своей сфере притяжения в качестве искусственного спутника-

Фактически притяжение Луны начинает оказывать существенное влияние на движение ракеты еще до того, как ракета приблизится к сфере притяжения Луны. В небесной баллистике принято учитывать при­тяжение Луны с момента, когда ракета окажется вну­три так называемой сферы действия Луны радиусом 66 000 км. При этом уже можно рассматри­вать движение ракеты относительно Луны, полностью забывая о земном притяжении, но точно учитывая ту скорость (относительно Луны), с какой ракета входит в сферу действия. Естественно поэтому, что ракету приходится посылать к Луне по такой траектории, чтобы скорость (относительно Луны) входа в сферу действия была направлена прямо на Луну. Для этого сфера действия Луны должна набегать на ракету, движущуюся ей наперерез. Как видим, попадание в Луну оказывается вовсе не столь простым делом, как попадание в шар диаметром 84 000 км.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика