О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Сто тысяч за доказательство теоремы
Математический портал Математику.ру

Г. Харди

Вероятно, величайший парадокс состоит в том, что в математике имеются парадоксы... Во-первых, это противоречия и абсурдные утверждения, которые являются следствием неправильного рассуждения. Во-вторых, это теоремы, которые кажутся странными и невероятными, но которые, будучи доказанными логически безукоризненно, должны быть приняты как верные, несмотря на то что они выходят за пределы нашей интуиции и воображения. Третий и наиболее важный тип парадоксов связан с теорией множеств, такого типа парадоксы привели к пересмотру оснований математики [206, с. 8-9].

 

Сто тысяч за доказательство теоремы

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Сто тысяч за доказательство теоремы

Одна задача из области неопределенных уравне­ний приобрела громкую известность, так как за пра­вильное ее решение было завещано целое состояние: 100000 немецких марок!

Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы, или «великого предложения» Ферма:

Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего це­лого числа. Исключение составляет лишь вторая сте­пень, для которой это возможно.

xn+yn=zn

Иначе говоря, надо доказать, что уравнение неразрешимо в целых числах для n>2.

Поясним сказанное. Мы видели, что уравнения

x2+y2=z2,

x3+y3+z3=t3

имеют сколько угодно целочисленных решений. Но попробуйте подыскать три целых положительных чис­ла, для которых было бы выполнено равенство x3+y3=z3; ваши поиски останутся тщетными.

Тот же неуспех ожидает вас и при подыскания примеров для четвертой, пятой, шестой и т. д. степе­ней. Это и утверждает «великое предложение Ферма».

 

 

Что же требуется от соискателей премии? Они должны доказать это положение для всех тех степе­ней, для которых оно верно. Дело в том, что теорема Ферма еще не доказана и висит, так сказать, в воз­духе.

Прошло три столетия с тех пор, как она выска­зана, но математикам не удалось до сих пор найти ее доказательства.

Величайшие математики трудились над этой про­блемой, однако в лучшем случае им удавалось дока­зать теорему лишь для того или иного отдельного пока­зателя или для групп показателей, необходимо же найти общее доказательство для всякого целого показателя.

Замечательно, что неуловимое доказательство тео­ремы Ферма, по-видимому, однажды уже было найде­но, но затем вновь утрачено. Автор теоремы, гениаль­ный математик XVII в. Пьер Ферма '), утверждал, что ее доказательство ему известно. Свое «великое пред­ложение» он записал (как и ряд других теорем из теории чисел) в виде заметки на полях сочинения Диофанта, сопроводив его такой припиской:

«Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь мало места, чтобы его привести».

Ни в бумагах великого математика, ни в его пере­писке, нигде вообще в другом месте следов этого до­казательства найти не удалось.

Последователям Ферма пришлось идти самостоя­тельным путем.

Вот результаты этих усилий: Эйлер (1797) доказал теорему Ферма для третьей и четвертой степеней; для пятой степени ее доказал Лежандр (1823), для седь­мой2)-Ламе  и  Лебег   (1840).   В   1849   г.    Куммер

доказал теорему для обширной группы степеней и, между прочим, - для всех показателей, меньших ста. Эти последние работы далеко выходят за пределы той области математики, какая знакома была Ферма, и становится загадочным, как мог последний разыскать общее доказательство своего «великого предложения». Впрочем, возможно, он ошибался.

Интересующимся историей и современным состоянием задачи Ферма можно рекомендовать брошюру Л. Я. Хинчина «Великая теорема Ферма». Написан­ная специалистом, брошюра эта предполагает у читателя лишь элементарные знания из математики.

 
 
 

/') Ферма (1603-1665) не был профессионалом-математиком. Юрист по образованию, советник парламента, он занимался ма­тематическими изысканиями лишь между делом. Это не поме­шало ему сделать ряд чрезвычайно важных открытий, которых он, впрочем, не публиковал, а по обычаю той эпохи сообщал в письмах к своим ученым друзьям: к Паскалю, Декарту, Гюйген­су, Робервалю и др.

2) Для составных показателей (кроме 4) особого доказатель­ства не требуется: эти случаи сводятся к случаям с простыми показателями.

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика