О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Неопределенное уравнение третьей степени
Математический портал Математику.ру

М. Ф. Кравчук

Для нашего современного молодого поколения математиков чтение Эйлера является в значительной степени школой методики и методологии научного математического творчества [155, с. 45].

 

Неопределенное уравнение третьей степени

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Неопределенное уравнение третьей степени

Сумма кубов трех целых чисел может быть кубом четвертого числа. Например, 33+43+53=63.

Это означает, между прочим, что куб, ребро кото­рого равно 6 см, равновелик сумме трех кубов, ребра которых равны 3 см, 4 см и 5 см (рис. 14), - соотно­шение, по преданию, весьма занимавшее Платона.

 

Image

Попытаемся найти другие соотношения такого же рода, т. е. поставим перед собой такую задачу: найти решения   уравнения x3-x3+y3+z3=u3

обозначить неизвестное и через -t. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

 

Удобнее,  однако,

Рассмотрим прием, позволяющий найти бесчислен­ное множество решений этого уравнения в целых (по­ложительных и отрицательных) числах. Пусть а, b, с, d  и

 

Image

-две четверки чисел, удовлетворяющих уравнению. Прибавим к числам первой четверки числа второй четверки,

x3+y3+z3+t3=0

умноженные на некоторое число k, и постараемся подобрать число k так, чтобы полеченные числа

 

Image

 

также удовлетворяли нашему уравнению. Иначе говоря, подберем k таким образом, чтобы было выпол­нено равенство

 

Image

 

Раскрыв скобки и вспоминая, что четверки a, b,c,d и


Image

 удовлетворяют нашему уравнению, т. е. имеют место равенства

 

Image

 

мы получим:

 

Image

 

или


 

Image

 

 

Произведение может обращаться в нуль только в том случае, когда обращается в нуль хотя бы один из его множителей. Приравнивая каждый из множителей нулю, мы получаем два значения для k. Первое зна­чение, k=0, нас не интересует: оно означает, что если к числам а, b, с, d ничего не прибавлять, то получен­ные числа удовлетворяют нашему уравнению. Поэто­му мы возьмем лишь второе значение для k:

 

Image

 

Итак, зная две четверки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению, можно найти новую четверку: для этого нужно к числам первой четверки прибавить числа второй четверки, умноженные на k, где k имеет написанное выше, значение.

Для того чтобы применить этот прием, надо знать две четверки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению. Одну такую четверку (3, 4, 5,-6) мы уже знаем. Где взять еще одну четверку? Выход из поло­жения найти очень просто: в качестве второй четверки можно взять числа r, -r, s, -s, которые, очевидно, удовлетворяют исходному уравнению, Иначе говоря, положим:

 

Image

 

Тогда для k мы получим, как легко видеть, следую­щее значение:

 

Image

 

 

а  числа

 

Image

 будут соответственно равны

 

 

Image

 

Согласно сказанному выше эти четыре выражения удовлетворяют исходному уравнению

x3+y3+z3+t3=0

Так как все эти выражения имеют одинаковый зна­менатель, то его можно отбросить (т. е. числители этих дробей также удовлетворяют рассматриваемому уравнению). Итак, написанному уравнению удовле­творяют (при любых r и s) следующие числа:

 

Image

 

в чем, конечно, можно убедиться и непосредственно, возведя эти выражения в куб и сложив. Придавая r и s различные целые значения, мы можем получить целый ряд целочисленных решений нашего уравнения. Если при этом получающиеся числа будут иметь об­щий множитель, то на него можно эти числа разде­лить. Например, при r=1, s=1 получаем для х, y,z,t следующие значения: 36, 6, 48, - 54, или, после со­кращения на 6, значения 6, 1, 8,-9. Таким образом,

63+13+83 = 93.

Вот еще ряд равенств того же типа (получающих­ся после сокращения на общий множитель):

 

Image

 

Заметим, что если в исходной четверке, 3, 4, 5, -6 или в одной из вновь полученных четверок поменять числа местами и применить тот же прием, то получим новую серию решений. Например, взяв четверку 3, 5, 4,-6 (т. е. положив а = b, b = 5, с=4, d= -6), мы по­лучим для х, у, z, t значения:

 

Image

 

 

Отсюда при различных r и s получаем ряд новых со­отношений:

 

и т. д.

Таким путем можно получить бесчисленное мно­жество решений рассматриваемого уравнения.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика