О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Пифагоровы числа
Математический портал Математику.ру

Р. Курант, Г. Роббинс

Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности [162, с. 17].

 

Пифагоровы числа

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Пифагоровы числа

 

 

Image

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпенди­кулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 13). Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь рас­стояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния меж­ду которыми равны 4а и 5а. При­ложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится тре­угольником, в котором угол А - прямой.

Этот древний способ, по-види­мому, применявшийся еще тыся­челетия назад строителями еги­петских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относят­ся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пи­фагора, - прямоугольный, так как

32+42=52

Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бес­численное множество целых положительных чисел а, b, с, удовлетворяющих соотношению

a2+b2=c2

Они называются пифагоровыми числами. Со­гласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треуголь­ника; поэтому а и b называют «катетами», а с - «ги­потенузой».

Ясно, что если а, b, с есть тройка пифагоровых чисел, то и  ра, рb, рс, где р - целочисленный множи­тель,- пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова полу­чится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вна­чале исследовать лишь тройки взаимно простых пи­фагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).

Покажем, что в каждой из таких троек а, b, с один из «катетов» должен быть четным, а другой нечетным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «ка­тета» а и b четны, то четным будет число а2 + b2, a значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а, b, с не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» а, b нечетен.

Остается еще одна возможность: оба «катета» не­четные, а «гипотенуза» четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид

2x+1  и 2y+1,

то сумма их квадратов равна

4x2+4x+1+4y2+4y+1=4(x2+x+y2+y)+2,

т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не мо­жет быть квадратом четного числа; иначе говоря, наши три числа - не пифагоровы.

Итак, из «катетов» а, b один четный, а другой не­четный. Поэтому число а2 + b2 нечетно, а значит, не­четна и «гипотенуза» с.

Предположим, для определенности, что нечетным является «катет» а, а четным b. Из равенства

a2+b2=c2

мы легко получаем:

a2=c2-b2=(c+b)(c-b)

Множители с+b и с-b, стоящие в правой части, вза­имно просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель, отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма

(c+b)+(c-b)=2c,

и разность                                

(c+b)-(c-b)=2b,

и произведение

(c+b)(c-b)=a2,

т. е. числа 2с, 2b и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют числа а, b, с, чего, однако, не может быть. Полученное про­тиворечие показывает, что числа с + b и с-b взаимно просты.

Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое из них является квадра­том, т. е.

Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид

Решив эту систему, найдем:


 

Image

 

Image

 

 

 

Image

 

где т и п - некоторые взаимно простые нечетные числа. Читатель легко может убедиться и в обратном: при любых нечетных т и п написанные формулы дают три пифагоровых числа а, b, с,

Вот несколько троек пифагоровых чисел, получае­мых при различных тип:

 

Image

 

 

(Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители, или содержат числа, боль­шие ста.)

Пифагоровы числа обладают вообще рядом любо­пытных особенностей, которые мы перечисляем далее без доказательств:

1)  Один из «катетов» должен быть кратным трем.

2)  Один из «катетов» должен быть кратным четырем.

3)  Одно    из   пифагоровых   чисел   должно   быть
кратно пяти.

Читатель может удостовериться в наличии этих свойств, просматривая приведенные выше примеры групп пифагоровых чисел.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика