О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Отгадать День рождение.РЕШЕНИЕ
Математический портал Математику.ру

 

Так называемые аксиомы математики - это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта [2, т. 20, с. 572].

Ф. Энгельс

 

Отгадать День рождение.РЕШЕНИЕ

Печать E-mail
05.03.2008 г.

РЕШЕНИЕ

Задача    сводится    к    решению    неопределенного уравнения

12х+31у=170

в целых и положительных числах, причем число ме­сяца х не больше 31, а номер месяца у не больше 12.

 

Image

 

Зная, что

 

Image

  и

 

Image

 

, находим границы

ДЛЯ  t1:

 

Image

 

Следовательно,

t1=0, x=9, y=2.

Дата   рождения   9-е   число второго месяца, т. е, 9 февраля.

Можно предложить и другое решение, не исполь­зующее уравнений. Нам сообщено число a=12x+31y. Так как \2х+24у делится на 12, то числа Ту и а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Умно-жив на 7, найдем, что 49у и Та имеют одинаковые остатки от деления на 12. Но 49y=48y+y, а 48у делится на 12. Значит, у я 7а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Иными словами, если а не де­лится на 12, то у равен остатку от деления числа на 12; если же а делится на 12, то y=12. Этим число y (номер месяца) вполне определяется. Ну, а зная у, уже ничего не стоит узнать х.

Маленький совет: прежде чем узнавать остаток от деления числа на 12, замените само число а его остатком от деления на 12 - считать будет проще. Например, если а=170, то вы должны произвести в уме следующие вычисления:

 

Image

 

Теперь вы можете сообщить товарищу дату его ро­ждения: 9 февраля.

Докажем, что фокус всегда удается без отказа, т. е. что уравнение всегда имеет только одно решение в целых положительных числах. Обозначим число, которое сообщил ваш товарищ, через а, так что на­хождение даты его рождения сводится к решению уравнения

12x+31y=a.

Станем рассуждать «от противного». Предполо­жим, что это уравнение имеет два различных реше­ния в целых положительных числах, а именно реше­ние х1   у1 и решение х2, у2 , причем x1 и х2 не пре­восходят 31, а у1 и у2 не превосходят 12. Мы имеем:

12x1+31y1=a,

12x2+31y2=a.

Вычитая из первого равенства второе, получим:

12(x1-x2)+31(y1-y2)=0.

Из этого равенства вытекает, что число 12(x1-х2) де­лится на 31. Так как x1 и х2 - положительные числа, не превосходящие 31, то их разность х1-х2 по вели­чине меньше чем 31. Поэтому число 12{х12) может делиться на 31 только в том случае, когда x1=x2, т.е. когда первое решение совпадает со вторым. Таким образом, предположение о существовании двух раз­личных решений приводит к противоречию.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика