О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ.РЕШЕНИЕ
Математический портал Математику.ру

Г. Штейнгауз

Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих,- на невозможности иного изложения [331, с. 221].

 

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ.РЕШЕНИЕ

Печать E-mail
05.03.2008 г.

РЕШЕНИЕ

На приведенном примере покажем, как следует ре­шать подобные уравнения.

Надо найти значения х и у в уравнении

3x-5y=19,

зная при этом, что х и у- числа  целые  и  поло­жительные.

Уединим   то   неизвестное,  коэффициент   которого меньше, т. е. член 3x; получим:

3x=19+5y,

откуда

 

Image

 

Так как х, 6 и у - числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что

 

Image

есть также

целое число. Обозначим его буквой t. Тогда

x=6+y+t,

где

 

Image

 

и, значит,

 

Image

 

Из последнего уравнения определяем у:

 

Image

 

Так как у и t - числа целые, то и (t-1)/2 должно быть некоторым целым числом t\. Следовательно,

 

причем

 

Image

 откуда

 

Image

 

 

Image

 

Значение t=2t1 + l подставляем в предыдущие равен­ства:

 

Image

 

Итак, для х и у мы

 

Image

нашли выражения  1)

Числа х и у,  мы знаем, - не только целые, но и положительные, т. е. большие чем 0. Следовательно,

 

Image

 

Из этих неравенств находим:

 

Image

 

Этим величина t1 ограничивается; она больше чем

 

Image

 .   Но так

как t1 - число целое, то заключаем, что для него воз­можны лишь следующие значения:

 

Image

 

Соответствующие значения для х и у таковы:

 

Image

 

1) Строго говоря, мы доказали только то, что всякое цело­численное решение уравнения 3x-5y=19 имеет вид x=8+5t1, y=1+3t1, где t1 - некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t1 мы получаем некоторое целочисленное ре­шение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.

Теперь мы установили,   как может быть  произве­дена уплата:

вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи:

8*3-5=19,

либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки:

13*3-4*5=19

и т. д.

Теоретически задача имеет бесчисленный ряд ре­шений, практически же число решений ограничено, так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчислен­ного множества кредитных билетов. Если, например, у каждого всего по 10 билетов, то расплата может быть произведена только одним способом: выдачей 8 трехрублевок и получением 5 рублей сдачи. Как видим, неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные пары решений.

Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем чита­телю в качестве упражнения самостоятельно решить ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у покупателя только пятирублевки, а у кассира только трехрублевки. В результате получится такой ряд ре­шений:

 

Image

Действительно,

 

Image

Мы могли бы получить эти результаты также и из готового уже решения основной задачи, воспользо­вавшись простым алгебраическим приемом. Так как давать пятирублевки и получать трехрублевки все равно, что «получать отрицательные пятируб­левки» и «давать отрицательные трехрублевки», то новый вариант задачи решается тем же уравнением, которое мы составили для основной задачи:

3x-5y=19,

но при условии, что х и у - числа  отрицатель­ные.  Поэтому из равенств

x=8+5t1, y=1+3t1

мы, зная, что x<0 и у<0, выводим:

8+5t1<0, 1+3t1<0

и, следовательно,

 

Image

 

Принимая t1 = -2, -3, -4 и т. д., получаем из пре­дыдущих формул следующие значения для х и у:

 

Image

 

Первая пара решений, х = -2, у=-5, означает, что покупатель «платит минус 2 трехрублевки» и «по­лучает минус 5 пятирублевок», т. е. в переводе на обычный язык - платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истол­ковываем и прочие решения.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика