О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Ответственный расчет
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Держитесь к задаче возможно ближе, но будьте готовы отойти от задачи настолько далеко, насколько вас вынуждают обстоятельства [248, с. 283].

 

Ответственный расчет

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Ответственный расчет

В вычислительной практике встречаются такие чи­сто арифметические выкладки, выполнение которых без помощи облегчающих методов алгебры чрезвы­чайно затруднительно. Пусть требуется, например, найти результат таких действий:

 

Image

 

 

(Вычисление   это   необходимо   для   того,  чтобы установить,   вправе   ли   техника,  имеющая дело со скоростями движения тел, малыми по сравнению со скоростью распространения электромагнитных волн, пользоваться прежним законом сложения скоростей, не считаясь с теми изменениями, которые внесены в механику теорией относительности. Согласно старой механике тело, участвующее в двух одинаково на­правленных движениях со скоростями v1 и v2 кило­метров в секунду, имеет скорость ( v1+ v2) километров в секунду. Новое же учение дает для скорости тела выражение

 

Image

 

где с - скорость распространения света в пустоте, равная приблизительно 300 000 километров в секунду. В частности, скорость тела, участвующего в двух оди­наково направленных движениях, каждое со скоро­стью 1 километр в секунду, по старой механике рав­но 2 километрам в секунду, а по новой как раз

 

Image

 

Насколько же разнятся эти результаты? Уловима ли разница для тончайших измерительных приборов? Для выяснения этого важного вопроса и приходится выполнить указанное выше  вычисление.)

Сделаем это вычисление двояко: сначала обыч­ным арифметическим путем, а затем покажем, как по­лучить результат приемами алгебры. Достаточно од­ного взгляда на приведенные далее длинные ряды цифр, чтобы убедиться в неоспоримых преимуществах алгебраического способа.

Прежде всего преобразуем нашу «многоэтажную» дробь:

 

Image

 

Произведем теперь деление числителя на знаменатель:

 

Image

 

Вычисление, как видите, утомительное, кропотли­вое; в нем легко запутаться и ошибиться. Между тем, для решения задачи важно в точности знать, на кото­ром именно месте обрывается ряд девяток и начи­нается серия других цифр.

Сравните теперь, как коротко справляется с тем же расчетом алгебра. Она пользуется следующим приближенным равенством: если а - весьма малая дробь, то

 

Image

 

где знак =* означает «приближенно равно».

Убедиться в справедливости этого утверждения очень просто: сравним делимое 1 с произведением делителя на частное:

1=(1+a)(1-a),

 


') Мы пользуемся далее приближенным равенством

 

Image

 

                                       ***

Мы пришли к тому же результату, что и раньше, но гораздо более коротким путем.

 

(Читателю, вероятно, интересно знать, каково зна­чение полученного результата в поставленной нами задаче из области механики. Этот результат показы­вает, что ввиду малости рассмотренных скоростей по сравнению со скоростью света уклонение от старого закона сложения скоростей практически не обнаруживается: даже при таких огромных скоростях., как 1 км/сек, оно сказывается на одиннадцатой цифре определяемого числа, а в обычной технике ограничи­ваются 4-6 цифрами. Мы вправе поэтому утвер­ждать, что новая, эйнштейнова, механика практически ничего не меняет в технических расчетах, отно­сящихся к «медленно» (по сравнению с распростра­нением света) движущимся телам. Есть, однако, одна область современной жизни, где этот безоговорочный вывод следует принимать с осторожностью. Речь идет о космонавтике. Ведь уже сегодня мы достигли ско­ростей порядка 10 км/сек (при движении спутников Я ракет). В этом случае расхождение классической и эйнштейновой механики скажется уже на девятом знаке. А ведь не за горами еще большие скорости...)

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика