О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Делимость на 11
Математический портал Математику.ру

М. Ф. Кравчук

[Математические] съезды, где усилиями сотен человек, десятков научных организаций дается в сжатой форме показ новейших достижений, самые яркие образцы методики научного творчества, взаимовлияния идей, направлений, школ, являются неоценимой школой для молодого ученого: здесь он черпает себе темы, методы, вырабатывает свои методологические и философский принципы, здесь он критически взвешивает свои силы и последствия своей работы, получает зарядку для дальнейшего труда [55, с. 60-61].

 

Делимость на 11

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Делимость на 11

Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны. Выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен.

Пусть многозначное число N имеет цифру еди­ниц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру ты­сяч d и т. д., т. е.

 

Image

 

где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. Вычтем из N число 11 (b+ 10с+ 100d+...), кратное одиннадцати. Тогда полученная разность, равная, как легко видеть,

 

Image

 

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число .V. Прибавив к этой разности число 11{c+10d+...),   кратное   одиннадцати,  мы получим

число

 

Image

 

также имеющее тот же остаток от деления на 11, что н число N. Вычтем из него число 11(d+...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы получим число

 

Image

имеющее тот же остаток от деления на 11, что и ис­ходное число N.

Отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечет­ных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.

Испытаем, например, число 87 635 064:

 

Image

 

Значит, данное число делится на  11.

Существует и другой признак делимости на И, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае - нет. Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5/28) и скла­дываем обе грани:

5+28 = 33.

Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно  11:

528:11 = 48.

 

 

Image

Докажем этот признак делимости. Разобьем мно­гозначное число N на грани. Тогда мы получим дву­значные (или однозначные1))  числа, которые обозначим   (справа   налево)   через а, b, с и т. д., так что   число /V можно будет записать в виде

 

Вычтем из N число 99(b+100с+...), кратное один­надцати. Полученное число

а+ (b+100с+...) =a + b+100(c+...)

будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число N. Из этого числа вычтем число 99(с+...), кратное одиннадцати, и т. д. В результате мы найдем, что число N имеет тот же остаток от деления на 11, что и число

 

 

1) Если число N имело нечетное число цифр, то последняя
(самая левая) грань будет однозначной. Кроме того, грань вида
03 также следует рассматривать как однозначное число 3.   

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика