О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow СТАРИННАЯ НАРОДНАЯ ЗАДАЧА.РЕШЕНИЕ
Математический портал Математику.ру

А. Пуанкаре

Логика нам говорит, что на таком-то пути мы можем быть уверены, что не встретим препятствий; она не говорит, какой путь ведет к цели. Для этого необходима видеть цель издалека, и интуиция есть та способность, которая этому нас научает. Без нее геометр походил бы на писателя, который был бы прикован к грамматике, но не имел бы идей [255, с. 163-164].

 

СТАРИННАЯ НАРОДНАЯ ЗАДАЧА.РЕШЕНИЕ

Печать E-mail
05.03.2008 г.

РЕШЕНИЕ

Задача не поддается прямому переводу «на алгебраический язык», для нее нельзя составить уравне­ния. Приходится решать ее особым путем, так сказать, по свободному математическому соображению. Но и здесь алгебра оказывает арифметике существенную помощь.

 


') Заметим, что двузначная группа цифр 76 может быть най­дена при помощи рассуждений, аналогичных приведенным выше: достаточно решить вопрос о том, какую цифру надо спереди при­писать к цифре 6, чтобы полученная двузначная группа цифр обладала рассматриваемым свойством. Поэтому «число» ...7 109 376 можно получить, приписывая спереди одну за дру­гой цифры к шестерке.

2) Бесконечные «числа» можно рассматривать не только в де­сятичной, а и в других системах счисления. Такие числа, рассма­триваемые в системе счисления с основанием р, называются р-адическими числами. Кое-что об этих числах можно прочесть в книге Е. Б. Дынкина и В. А. Успенского «Математические бе­седы» (Гостехиздат, 1952).

 

Стоимость всего стада в рублях есть точный ква­драт, так как стадо приобретено на деньги от про­дажи п волов по п рублей за вола. Одному из ком­паньонов досталась лишняя овца, следовательно, чис­ло овец нечетное; нечетным, значит, является и число десятков в числе n2. Какова же цифра единиц?

Можно доказать, что если в точном квадрате чис­ло десятков нечетное, то цифра единиц в нем может быть только 6.

В самом деле, квадрат всякого числа из а десят­ков и b единиц, т. е. (10a + b)2, равен

 

Image

 

Десятков в этом числе 10а2 + 2аb, да еще некото­рое число десятков, заключающихся в b2. Но 10a2+2ab делится на 2 - это число четное. Поэтому число де­сятков, заключающихся в (10а + b)2, будет нечетным, лишь если в числе b2 окажется нечетное число десят­ков. Вспомним, что такое b2. Это - квадрат цифры единиц, т. е. одно из следующих 10 чисел:

 

Image

 

Среди них нечетное число десятков имеют только 16 и 36 - оба оканчивающиеся на 6. Значит, точный квадрат может иметь нечетное число десятков только в том случае, если оканчивается на 6.

 

Image

Теперь легко найти ответ на вопрос задачи. Ясно, что ягненок пошел за 6 рублей. Компаньон, которому он достался, получил, следовательно, на 4 рубля меньше другого. Чтобы уравнять доли, обладатель ягненка должен дополучить от своего компаньона 2 рубля.

Доплата равна 2 рублям.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика