О портале "Математика. ру" arrow В помощь арифметике arrow Бесконечные „числа"
Математический портал Математику.ру

В. Литцман

Я считаю себя за человека, одаренного большой геометрической интуицией, и мне кажется, что каждая моя мысль должна быть облечена в конкретный образ. Всякий новый закон (или теорему) я должен непременно сперва понять интуитивно - почувствовать геометрически его необходимость. До тех пор никакое логическое доказательство мне ничего не уяснит. Но когда я почувствовал, то я начинаю интуитивно так ясно его представлять, что доказательство для меня лично часто становится излишним, хотя "математическое мое чувство" удовлетворяется вполне только после того, как закон (или теорема) мною: а) "постигнут", б) логически доказан [цит. по: 400, с, 93].

 

Бесконечные „числа"

Печать E-mail
05.03.2008 г.

Бесконечные „числа"

Существуют и более длинные группы цифр, кото­рые, находясь на конце чисел, сохраняются и в их произведении. Число таких групп цифр, как мы по­кажем, бесконечно велико.

Мы знаем двузначные группы цифр, обладающие этим свойством: это 25 и 76. Для того чтобы найти трехзначные группы, нужно приписать к числу 25 или 76 спереди такую цифру, чтобы полученная трех­значная группа цифр тоже обладала требуемым свой­ством.

Какую же цифру следует приписать к числу 76? Обозначим ее через k. Тогда искомое трехзначное число изобразится:

 

Image

 

Общее выражение для чисел, оканчивающихся этой группой цифр, таково:

 

Image

 

Перемножим два числа этого вида; получим:

 

Image

 

Все слагаемые, кроме двух последних, имеют на конце не менее трех нулей. Поэтому произведение оканчивается на  100k + 76, если разность

 

 

Image

 

делится  на   1000.   Это,  очевидно,   будет  только   при k=3.

Итак, искомая группа цифр имеет вид 376. Поэтому и всякая степень числа 376 оканчивается на 376.

Например:

 

Image

                                                

 

Если мы теперь захотим найти четырехзначную группу цифр, обладающую тем же свойством, то должны будем приписать к 376 еще одну цифру спе­реди. Если эту цифру обозначим через l, то придем к задаче: при каком l произведение

 

Image

 

оканчивается на 1000l+376? Если в этом произведе­нии раскрыть скобки и отбросить все слагаемые, ко­торые оканчиваются на 4 нуля и более, то останутся члены

 

Image

 

Произведение оканчивается на 1000 l +376, если раз­ность

 

Image

 

делится на 10 000. Это, очевидно, будет только при 1=9.

Искомая четырехзначная группа цифр 9376.

Полученную четырехзначную группу цифр можно дополнить еще одной цифрой, для чего нужно рассу­ждать точно так же, как и выше. Мы получим 09376. Проделав еще один шаг, найдем группу цифр 109376, затем 7109 376 и т. д.

Такое приписывание цифр слева можно произво­дить неограниченное число раз. В результате мы по­лучим «число», у которого бесконечно много цифр:

...7 109 376.

Подобные «числа» можно складывать и умножать по обычным правилам: ведь они записываются спра­ва налево, а сложение и умножение («столби­ком») также производятся справа налево, так что в сумме и произведении двух таких чисел можно вы­числять одну цифру за другой - сколько угодно цифр.

Интересно, что написанное выше бесконечное «число» удовлетворяет, как это ни кажется невероят­ным, уравнению х2=х.

Б самом деле, квадрат этого «числа» (т. е. произве­дение его на себя) оканчивается на 76, так как ка­ждый из сомножителей имеет на конце 76; по topi же причине квадрат написанного «числа» оканчи­вается на 376; оканчивается на 9376 и т. д. Иначе говоря, вычисляя одну за другой цифры «числа» х2, где х=... 7 109 376, мы будем получать те же цифры, которые имеются в числе х, так что x2=x.

Мы рассмотрели группы цифр, оканчивающиеся на 761). Если аналогичные рассуждения провести для групп цифр, оканчивающихся на 5, то мы получим такие группы цифр:

5, 25, 625, 0625, 90 625, 890 625, 2 890 625 и т. д. В результате мы сможем написать еще одно беско­нечное «число»

 

Image

 

также удовлетворяющее уравнению х2=х. Можно бы­ло бы показать, что это бесконечное «число» «равно»

 

Image

 

Полученный интересный результат на языке бес­конечных «чисел» формулируется так: уравнение хгимеет (кроме обычных х=0 и x=1) два «беско­нечных»

 

Image

решения:

а других решений (в десятичной системе счисления) не имеет 2).

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика