О портале "Математика. ру" arrow Язык алгебры arrow Курьезы и неожиданности
Математический портал Математику.ру

Д. Пойа

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому [248, с. 290].

 

Курьезы и неожиданности

Печать E-mail
04.03.2008 г.

Курьезы и неожиданности

При решении уравнений мы наталкиваемся иногда на ответы, которые могут поставить в тупик мало­опытного математика. Приведем несколько примеров.

1. Найти двузначное число, обладающее следую­щими свойствами. Цифра десятков на 4 меньше циф­ры единиц. Если из числа, записанного теми же циф­рами, но в обратном порядке, вычесть искомое число, то получится 27.

Обозначив цифру десятков через х, а цифру еди­ниц - через у, мы легко составим систему уравнений для этой задачи:

 

Image

 

Подставив во второе уравнение значение х из пер­вого, найдем:

 

Image

 

а после преобразований:

36 = 27.

У нас не определились значения неизвестных, зато мы узнали, что 36=27... Что это значит?

Это означает лишь, что двузначного числа, удовлетворяющего   поставленным   условиям,   не  существует и  что   составленные   уравнения   противоречат   одно другому.

В самом деле: умножив обе части первого уравне­ния на 9, мы найдем из него:

9у-9x=36,

а из второго (после раскрытия скобок и приведения подобных членов):

9 у-9x=27.

Одна и та же величина -9x согласно первому уравнению равна 36, а согласно второму 27. Это без­условно невозможно, так как

 

Image

 

Подобное же недоразумение ожидает решающего следующую систему уравнений:

 

Image

 

Разделив первое уравнение на второе, получаем: ,ху=2,

а сопоставляя полученное уравнение со вторым, ви­дим, что

 

Image

 

т. е. 4 = 2. Чисел, удовлетворяющих этой системе, не существует. (Системы уравнений, которые, подобно сейчас рассмотренным, не имеют решений, называют­ся   несовместными.)

II. С иного рода неожиданностью встретимся мы, если несколько изменим условие предыдущей задачи. Именно будем считать, что цифра десятков не на 4, а на 3 меньше, чем цифра единиц, а в остальном оста­вим условие задачи тем же. Что это за число?

Составляем уравнение. Если цифру десятков обо­значим через х, то число единиц выразится через х+З. Переводя задачу на язык алгебры, получим:

 

Image

 

Сделав упрощения, приходим к равенству 27=27.

Это равенство неоспоримо верно, но оно ничего не говорит нам о значении х. Значит ли это, что чисел, удовлетворяющих требованию задачи, не сущест­вует?

Напротив, это означает, что составленное нами уравнение есть тождество, т. е. что оно верно при лю­бом значении неизвестного х. Действительно, легко убедиться в том, что указанным в задаче свойством обладает каждое двузначное число, у которого цифра единиц на 3 больше цифры десятков:

 

Image

 

III. Найти трехзначное число, обладающее следую­щими свойствами:

1)  цифра десятков 7;

2)  цифра сотен на 4 меньше цифры единиц;

3)  если цифры этого числа разместить в обратном
порядке, то новое число будет на 396 больше иско­мого.

Составим уравнение, обозначив цифру единиц че­рез х:

 

Image

 

Уравнение это после упрощений приводит к равен­ству

396 = 396.

Читатели уже знают, как надо толковать подоб­ный результат. Он означает, что каждое трехзначное число, в котором первая цифра на 4 меньше третьей1), увеличивается на 396, если цифры поставить в обрат­ном порядке.

До сих пор мы рассматривали задачи, имеющие более или менее искусственный, книжный характер; их назначение - помочь приобрести навык в состав­лении и решении уравнений. Теперь, вооруженные тео­ретически, займемся несколькими примерами задач практических - из области производства, обихода, военного дела, спорта.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика