О портале "Математика. ру" arrow Язык алгебры arrow Перестановка часовых стрелок.РЕШЕНИЕ
Математический портал Математику.ру

Наше знание первых принципов, таких как пространство, время, движение, число, столь же достоверно, как и любое знание, получаемое нами посредством рассуждения [цит. по: 314, с. 119].

 

Перестановка часовых стрелок.РЕШЕНИЕ

Печать E-mail
04.03.2008 г.

РЕШЕНИЕ

Будем измерять расстояния стрелок по кругу ци­ферблата от точки, где стоит цифра 12, в 60-х долях окружности.

Пусть одно из требуемых положений стрелок 'на­блюдалось тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры 12 на х делений, а минутная - на у делений. Так как часовая стрелка проходит 60 делений за 12 часов, т. е. 5 делений в час, то х делений она про­шла за x/5 часов. Иначе говоря, после того как часы показывали  12, прошло x/5 часов. Минутная стрелка

I прошла у делений за у минут, т. е. за y/60 часов. Ина­че говоря, цифру 12 минутная стрелка прошла y/60 часов тому назад, или через

 

Image

 

|часов после того, как обе стрелки были на двена­дцати. Это число является целым (от нуля до 11), так как оно показывает, сколько полных часов прошло после двенадцати.

Когда стрелки обменяются местами, мы найдем аналогично, что с двенадцати часов до времени, по­казываемого стрелками, прошло

 

Image

 

полных часов. Это число также  является целым (от нуля до 11).

Имеем систему уравнений

 

Image

 

где т и п - целые числа,  которые  могут  меняться от 0 до 11. Из этой системы находим:

 

Image

 

,     Давая т и п значения от 0 до 11, мы определим 'все требуемые положения  стрелок. Так как каждое из 12 значений т можно сопоставлять с каждым из 12 значений п, то, казалось бы, число всех решений равно 12*12=144. Но в действительности оно равно 143, потому что при m=0, n=0 и при m=11, n=11 получается одно и то же положение стрелок. При т= 11, n= 11 имеем:

 

Image

 

г. е. часы показывают 12, как и в случае т=0, п=0.

Всех возможных положений мы рассматривать не станем; возьмем лишь два примера. Первый пример:

 

Image

 

т. е. часы показывают 1 час 5 5/11 мин.; в этот мо­мент стрелки совмещаются; их, конечно, можно об­менять местами (как и при всех других совмещениях стрелок).

Второй пример:

 

Image

 

Соответствующие моменты: 8 час. 28,53 мин. и 5 час. 42,38 мин.

Число решений мы знаем: 143. Чтобы найти все точки циферблата, которые дают требуемые положе­ния стрелок, надо окружность циферблата разделить на 143 равные части: получим 143 точки, являющиеся искомыми. В промежуточных точках требуемые положения стрелок невозможны.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика