Перестановка часовых стрелок

ЗАДАЧА

Биограф и друг известного физика А. Эйнштейна А. Мошковский, желая однажды развлечь своего при­ятеля во время болезни, предложил ему следующую задачу (рис. 9):

«Возьмем, - сказал Мошковский, - положение стрелок в 12 часов. Если бы в этом положении боль­шая и малая стрелки обменялись местами, они дали бы все же правильные показания. Но в другие мо­менты, - например, в 6 часов, взаимный обмен стре­лок привел бы к абсурду, к положению, какого на правильно идущих часах быть не может: минутная стрелка не может стоять на 6, когда часовая показыва­ет 12. Возникает вопрос: когда и как часто стрелки часов занимают такие поло­жения, что замена одной другою дает новое положе­ние, тоже возможное на пра­вильных часах?

- Да, - ответил Эйн­штейн, - это вполне подхо­дящая задача для человека, вынужденного из-за болезни оставаться в постели: доста­точно интересная и не слишком легкая. Боюсь только, что развлечение продлится недолго: я уже напал на путь к решению.

И приподнявшись на постели, он несколькими штрихами набросал на бумаге схему, изображающую условие задачи. Для решения ему понадобилось не больше времени, чем мне на формулировку задачи...»

Как же решается эта задача?