О портале "Математика. ру" arrow Язык алгебры arrow Артель косцов.РЕШЕНИЕ
Математический портал Математику.ру

Г. Гильберт

Нельзя ли найти общий метод для решения какого-либо уравнения? Все это проблема симметрии [цит. по: 164, с. 12].

 

Артель косцов.РЕШЕНИЕ

Печать E-mail
04.03.2008 г.

РЕШЕНИЕ

В этом случае, кроме главного неизвестного - чис­ла косцов, которое мы обозначим через х,- удобно ввести еще и вспомогательное, именно - размер уча­стка, скашиваемого одним косцом в 1 день; обозначим его через у. Хотя задача и не требует его определения, оно облегчит нам нахождение главного не­известного.

Выразим через х и у площадь большого луга. Луг этот     косили     полдня     х    косцов;     они     скосили

 

 

Image

 

 

 

Вторую половину дня его косила только половина артели, т. е.   x/2 косцов; они скосили

 

Image

 

 

Так как к вечеру скошен был весь луг, то пло­щадь его равна

 

 

Image

 

 

Выразим теперь через х и y площадь меньшего луга. Его полдня косили  x/2 косцов и скосили пло­щадь

 

Image

  • Прибавим недокошенный уча­сток, как раз равный у (площади, скашиваемой од­ним косцом в 1 рабочий день), и получим площадь меньшего луга:

 

Image

 

Остается перевести на язык алгебры фразу: «пер­вый луг вдвое больше второго», - и уравнение со­ставлено:

 

Image

 

Сократим дробь в левой части уравнения на у; вспомогательное неизвестное благодаря этому исклю­чается, и уравнение принимает вид

 

Image

 

откуда x = 8.

В артели было 8 косцов.

После напечатания первого издания «Заниматель­ной алгебры» проф. А. В. Цингер прислал мне по­дробное и весьма интересное сообщение, касающееся этой задачи. Главный эффект задачи, по его мнению, в том, что «она совсем не алгебраическая, а арифме­тическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой».

«История этой задачи такова, - продолжает проф. А. В. Цингер. - В Московском университете на мате­матическом факультете в те времена, когда там учи­лись мой отец и мой дядя И. И. Раевский (близкий друг Л. Толстого), среди прочих предметов препо­давалось нечто вроде педагогики. Для этой цели студенты должны были посещать отведенную для уни­верситета городскую народную школу и там в сотруд­ничестве с опытными искусными учителями упраж­няться в преподавании. Среди товарищей Цингера и Раевского был некий студент Петров, по рассказам - чрезвычайно одаренный и оригинальный человек. Этот Петров (умерший очень молодым, кажется, от чахот­ки) утверждал, что на уроках арифметики учеников портят, приучая их к шаблонным задачам и к шаб­лонным способам решения. Для подтверждения своей мысли Петров изобретал задачи, которые вследствие не шаблонности очень затрудняли «опытных искусных учителей», но легко решались более способными уче­никами, еще не испорченными учебой. К числу таких задач (их Петров сочинил не­сколько) относится и задача об артели косцов. Опытные учителя, разумеется, легко могли решать ее при помощи уравнения, но простое

 

Image

арифметическое решение от них ускользало. Между тем, задача настолько проста, что при­влекать для ее решения алге­браический аппарат совсем не стоит.

 

Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели,     то    ясно,     что    в

полдня  пол-артели  скашивает 1/3  луга.  Следователь­но, на  малом лугу остался  нескошенным участок в

1/2 - 1/3 =1/6   Если один косец в день скашивает 1/6 лу

6       2       8 га, а скошено было 6/6 + 2/6 = 8/6 , то косцов было 8.

Толстой, всю жизнь любивший фокусные, не слиш­ком хитрые задачи, эту задачу знал от моего отца еще с молодых лет. Когда об этой задаче пришлось беседовать мне с Толстым - уже стариком, его осо­бенно восхитило то, что задача делается гораздо яс­нее и прозрачнее, если при решении пользоваться самым примитивным чертежом   (рис. 7)».

Ниже нам встретятся еще несколько задач, кото­рые при некоторой сообразительности проще реша­ются арифметически, чем алгебраически.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика