127.        Читатели, слыхавшие о неразрешимости задачи
квадратуры   круга,   сочтут,   вероятно,   и   предлагаемую
задачу неразрешимой строго геометрически.  Раз нельзя превратить в равновеликий квадрат полный круг, то - думают  многие - нельзя   превратить  в   прямоугольную
фигуру и луночку, составленную двумя  дугами окруж­ности.

Между тем, задача, безусловно, может быть решена геометрическим построением, если воспользоваться одним любопытным следствием общеизвестной Пифагоровой тео­ремы. Следствие, которое я имею в виду, гласит, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна полукругу, построенному на гипотенузе (рис. 105). Перекинув большой полукруг на другую сторону (рис. 106), видим, что обе заштрихованные луночки вместе равнове­лики треугольнику *). Если треугольник взять равно­бедренный, то каждая луночка в отдельности будет равновелика   половине   этого   треугольника   (рис.   107).

Отсюда следует, что можно геометрически точно пост­роить равнобедренный прямоугольный треугольник, пло­щадь которого равна площади серпа.

*) Тот лунный серп, который мы видим на небе, имеет несколь­ко иную форму: его наружная дуга - полуокружность, внутренняя же - полуэллипс. Художники часто изображают лунный серп неверно, составляя его из дуг окружностей.

                                                 ***

в середине О этой прямой восставляют перпендикуляр и откладывают ОС = О А. Равнобедренный треугольник О АС дополняют до квадрата OADC, который превра­щают в крест одним из способов, указанных на рис. 109 и 110.