О портале "Математика. ру" arrow О числах-великанах arrow 67. Пари
Математический портал Математику.ру

Г. Штейнгауз

Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих,- на невозможности иного изложения [331, с. 221].

 

67. Пари

Печать E-mail
03.03.2008 г.

67. Пари

В столовой дома отдыха зашла за обедом речь о том, как вычисляется вероятность событий. Молодой математик, оказавшийся среди обедающих, вы­нул монету и сказал:

-  Кидаю на стол монету, не глядя. Какова вероят­ность, что она упадет гербом вверх?

-  Объясните   сначала,   что   значит  «вероятность»,- раздались голоса.- Не всем ясно.

-  О, это очень просто! Монета может лечь на стол двояко (рис.  58):  вот так - гербом вверх и вот так - гербом вниз.

Всех случаев здесь возможно только два. Из них для интересующего нас события благоприятен лишь один случай.  Теперь находим отношение

числа благоприятных случаев         1

 
 
 

*) Читателю уже знакомо это число: оно определяет награду, затребованную изобретателем шахматной игры.


-  Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь  вообще  возможны  случаи.   Во-первых,   возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. 

-  В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих - жен­щины. Итак, число всех возможных случаев - 4. Из них благоприятен,  очевидно,  только один случай - первый. Получаем для  вероятности   дробь 1/4Вот ваша задача и решена.

- Понятно. Но можно поставить вопрос и о   трех мужчинах: какова вероятность, что первые   трое про­хожих все окажутся мужчины?

- Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных   случаев.   Для  двоих   прохожих  число  всех случаев равно, мы уже знаем, четырем. С присоединением
третьего прохожего число возможных случаев увеличивает­ся вдвое, потому что к каждой из 4 перечисленных груп­пировок двух прохожих может присоединиться либо муж­чина, либо женщина. Итого, всех случаев возможно здесь

4x2=8. А искомая вероятность, очевидно, равна 1/8, пото­му что благоприятен событию только 1 случай. Здесь легко подметить  правило  подсчета:   в  случае  двух  прохожих мы  имели вероятность в случае трех 1/2 * 1/2 * 1/2 =1/8

 

Image

 

 

в случае четырех вероятность равна произ­ведению четырех половинок и т. д. Вероятность все умень­шается, как видите.

-  Чему же она равна, например, для десятка прохожих?

-  То  есть  какова   вероятность,   что   первые  десять прохожих все подряд окажутся мужчинами? Вычислим,

как   велико произведение   десяти  половинок.   Это  1/1024 , менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь о заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет.

-  Выгодное   пари! - заявил    чей-то   голос.- Я   бы охотно   поставил   рубль,   чтобы   получить   возможность выиграть целую тысячу.

-  Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.

-  Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против ты­сячи даже и за то,  что сотня прохожих  окажутся все подряд мужчинами.

-  А  вы  представляете  себе,   как  мала  вероятность такого  события? - спросил  математик.

-  Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?

-  Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь...  Дайте-ка, я прикину на бумажке. Биллионная... Триллионная... Квадрильонная...  Ого! Единица с тридцатью! нулями!    I

-  Только всего?                                                        

-    Вам мало 30 нулей? В океане  нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек.

-    Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моего рубля?

-    Ха-ха!... Все! Все, что у меня есть.

-    Все - это  слишком  много.   Ставьте   на  кон  ваш велосипед.  Ведь не поставите?

-    Почему   же   нет?   Пожалуйста!   Пусть   велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.

-    И я не рискую. Не велика сумма рубль. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.

-    Да   поймите   же,   что   вы   наверняка   проиграете! Велосипед никогда вам не достанется, а рубль ваш можно сказать уже в моем кармане.

-    Что   вы   делаете!- удерживал   математика   прия­тель.- Из-за рубля рискуете велосипедом.  Безумие!

-    Напротив,- ответил математик,- безумие ставить хотя бы один рубль при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уже лучше прямо выбросить рубль.

-    Но один-то шанс все же имеется?

-    Одна  капля  в  целом  океане.   В  десяти  океанах! Вот ваш шанс. А за меня десять океанов против одной ка­пельки. Мой выигрыш так же верен, как дважды два -
четыре.

-    Увлекаетесь, молодой человек,- раздался спокой­ный голос старика, все время молча слушавшего спор.- Увлекаетесь...

-    Как?   И   вы,   профессор,   рассуждаете   по - обывательски?

-    Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны?   Расчет   вероятности   правилен   лишь   для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рас­сматриваемом примере... Впрочем,- сказал старик, при­слушиваясь,- сама   действительность,   кажется,   сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли?

-    Причем тут музыка?..- начал было молодой мате­матик и осекся. На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, бросился к окну и высунул голову.

-    Так и есть! - донесся его унылый возглас.- Про­играно пари! Прощай мой велосипед...

Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон солдат.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика