О портале "Математика. ру" arrow О числах-великанах arrow 63. Легенда о шахматной доске
Математический портал Математику.ру

Э. Галуа

Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции, научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам - вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я хочу пойти [цит. по: 88, с. 146].

 

63. Легенда о шахматной доске

Печать E-mail
03.03.2008 г.

63. Легенда о шахматной доске

Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграф­ленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

1.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был вос­хищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повели­теля. Это был скромно одетый ученый, получавший сред­ства к жизни от своих учеников.

- Я   желаю  достойно   вознаградить  тебя,   Сета,   за прекрасную игру, которую ты придумал,- сказал царь.

Мудрец поклонился.

- Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое   пожелание,- продолжал    царь.- Назови    награ­ду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

 

Image

 

Сета молчал.

-             Не   робей,- ободрил   его   царь.- Выскажи   свое желание.    Я    не    пожалею   ничего,    чтобы    исполнить его.

-             Велика  доброта   твоя,   повелитель.   Но  дай   срок
обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу
тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

-             Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за  первую   клетку   шахматной  доски   одно   пшеничное зерно.

-             Простое  пшеничное  зерно? - изумился  царь.

-             Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32...

-             Довольно,- с раздражением прервал его царь.- Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щед­рости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно
пренебрегаешь моею милостью.  Поистине,  как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте

своего государя.  Ступай.  Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

2.

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жал­кую награду.

- Повелитель,- был   ответ,- приказание   твое   ис­полняется.    Придворные   математики   исчисляют   числоследуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

-   Повелитель,- ответили    ему,- математики    твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

-   Почему медлят с этим делом? - гневно воскликнул царь.- Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром   царю   доложили,   что   старшина   придворных математиков просит  ыслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

-   Прежде чем скажешь о твоем деле,- объявил Шерам,- я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

-   Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,- ответил старик.- Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

-   Как бы велико оно ни было,- надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и долж­на быть выдана...

-   Не в твоей   власти, повелитель, исполнять  подоб­ные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем про­странстве   Земли.   И  если  желаешь  непременно  выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные цар­ства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих по­лях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.

-  Назови  же   мне   это  чудовищное   число,- сказал он в раздумьи.

-  Восемнадцать квинтильонов   четыреста со­
рок  шесть  квадрильонов    семьсот  сорок  четыре
триллиона    семьдесят  три  биллиона    семьсот
девять миллионов   пятьсот пятьдесят одна т ы с я ч а   шестьсот пятнадцать,  о повелитель!

3.

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно,- но что награда, о которой го­ворит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете  убедиться терпеливым подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причита­лось изобретателю за 64-ю клетку доски. Поступая, как объяснено на стр. 75, мы без труда найдем всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчет сводится лишь к перемно­жению 64 двоек!

2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2  и т. д. (64 раза).

Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1024, а 4 двоек - 16. Значит, искомый результат равен

1024*1024*1024 * 1024 * 1024 * 1024 *16.

Перемножив 1024x1024, получим 1048 576. Теперь остается найти

1 048 576 *1 048 576 *1 048 576 *16,

отнять от результата одну единицу - и нам станет известно искомое число зерен:

18 446 744 073 709 551 615.

Если желаете представить себе всю огромность этого числового великана, прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была бы занять объем примерно в 12 000 000 000 000 куб. м, или 12 000 куб. км. При вы­соте амбара 4 м и ширине 10 м длина его должна была бы простираться на 300 000 000 км,- т. е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца!..

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пше­ницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в се­кунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно в полгода: это дало бы ему всего 5 четвертей. Считая непрерывно в течение 10 лет, он отсчитал бы себе не более 100 четвертей. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

64. Быстрое размножение. Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зер­нышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек.

Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего мако­вого растения достаточная площадь подходящей земли, ка­ждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим ле­том на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!

Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 ра­стений принесет не менее одной головки (чаще же не­сколько),   содержащей   3000   зерен.   Проросши,   семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следова­тельно, на второй год у нас будет уже не менее

3000x3000=9 000 000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака  будет  уже достигать

9 000 000x3000=27 000 000 000. А на четвертый год

27 000 000 000X3000=81 000 000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, по­тому что число растений сделается равным

81 000 000 000 000*3000=243 000 000 000 000 000.

Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и остро­вов земного шара, составляет только 135 миллионов ква­дратных километров,- 135 000 000 000 000 кв. м.- при­мерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.

Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет по­крыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!

Сделав подобный же расчет не для мака, а для какого-нибудь другого растения, приносящего меньше семян, мы пришли бы к такому же результату, но только потомство его покрыло бы всю Землю не в 5 лет, а в немного больший срок. Возьмем хотя бы одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок *). Если бы все они прорастали, мы имели бы:

 

Image

 

 

 

_____________

*) В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семянок.

 

                                                                 ***

 

Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше.

Следовательно, на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом ква­дратном метре.

Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же", наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

Это верно не только для растений, но и для животных. Не будь смерти, потомство одной пары любого животного рано или поздно заполнило бы всю Землю. Полчища са­ранчи, сплошь покрывающие огромные пространства, могут дать нам некоторое представление о том, что было бы, если бы смерть не препятствовала размножению жи­вых существ. В каких-нибудь два-три десятка лет материки покрылись бы непроходимыми лесами и степями, где кишели бы миллионы животных, борющихся между собой за место. Океан наполнился бы рыбой до того густо, что судоходст­во стало бы невозможно. А воздух сделался бы едва про­зрачным от множества птиц и насекомых. Рассмотрим для примера, как быстро размножается всем известная комнатная муха. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколе­ний мух, половина которых - самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

 

15 апреля - самка отложила 120 яиц; в начале мая - вышло 120 мух, из них 60 самок.

5 мая - каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая - выходит 60x120=7200 мух, из них 3600 самок;

25 мая - каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня - выходит 3600x120=432 000 мух, из них 216 000 самок;

14 июня - каждая из 216 000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня - выходит 25 920 000 мух, в их числе 12 960 000 самок;

5 июля - 12 960 000 самок кладут по 120 яиц; в ию­ле - выходит 1 555 200 000 мух, среди них 777 600 000 самок;

25 июля - выходит 93 312 000 000 мух, среди них 46 656 000 000 самок;

13 августа - выходит 5 598 720 000 000 мух, среди них 2 799 360 000 000 самок;

1 сентября - выходит 355 923 200 000 000 мух.

Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета народиться от одной пары, во­образим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытяну­лись бы на 2500 млн. км - в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т. е. примерно, как от Земли до да­лекой планеты Уран)...

В заключение приведем несколько подлинных случаев необыкновенно быстрого размножения животных, поставленных в благоприятные условия.

В Америке первоначально не было воробьев. Эта столь обычная у нас птица была ввезена в Соединен­ные Штаты намеренно с той целью, чтобы она уничтожала там вредных насекомых. Воробей, как известно, в изоби­лии поедает прожорливых гусениц и других насекомых, вредящих садам и огородам. Новая обстановка полюби­лась воробьям: в Америке не оказалось хищников, истреб­ляющих этих птиц, и воробей стал быстро размножаться. Количество вредных насекомых начало заметно умень­шаться, но вскоре воробьи так размножились, что - за недостатком животной пищи - принялись за расти­тельную и стали опустошать посевы *). Пришлось присту­пить к борьбе с воробьями; борьба эта обошлась амери­канцам так дорого, что на будущее время издан был за­кон, запрещающий ввоз в Америку каких бы то ни было животных.

Второй пример. В Австралии не существовало кро­ликов, когда этот материк открыт был европейцами. Кролик ввезен туда в конце XVIII века, и так как там отсутствуют хищники, питающиеся кроликами, то раз­множение этих грызунов пошло необычайно быстрым темпом. Вскоре полчища кроликов наводнили всю Австра­лию, нанося страшный вред сельскому хозяйству и пре­вратившись в подлинное бедствие. На борьбу с этим бичом сельского хозяйства брошены были огромные средства, и только благодаря энергичным мерам удалось справиться с бедой. Приблизительно то же самое повторилось позднее с кроликами в Калифорнии.

 

Image

 

 

 

 

 

*) А на Гавайских островах они полностью вытеснили всех остальных мелких птиц.

 

Третья поучительная история произошла на острове Ямайке. Здесь водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу-секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато нео­бычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшие­ся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индий­ский мангуст. Решено было привести на остров 4 пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Мангусты хорошо приспособились к новой родине и быст­ро заселили весь остров. Не прошло и десяти лет, как они почти уничтожили на нем крыс. Но увы - истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. А размножившись еще бо­лее, принялись за плодовые сады, хлебные поля, планта­ции.  Жители приступили к  уничтожению  своих  недав­них союзников, но им удалось лишь до некоторой степени | ограничить приносимый мангустами вред.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика