О портале "Математика. ру" arrow Числовые arrow Решение головоломки 45
Математический портал Математику.ру

Дж. В. Янг

Математика в завершенном своем виде дедуктивна; математика в процессе ее создания - индуктивна [406, с. 289].

 

Решение головоломки 45

Печать E-mail
03.03.2008 г.

45. Все три задачи неразрешимы; счетчик мог без­боязненно обещать за их решения любую премию. Чтобы в этом удостовериться, обратимся к языку алгебры и
рассмотрим задачи одну за другой.                            

Уплата 5 рублей. Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось х 50-копеечных, у 20-копеечных и z 5-копеечных монет. Имеем уравнение; 

50x + 20y + 5z = 500.

Сократив  на 5,  получаем:                                             

10x + 4x + z = 100.

Кроме  того,  так  как  общее  число  монет,  по  условию,  I равно 20, то г, у и г связаны еще и другим уравнением:  

x + y + z = 20.

Вычтя это уравнение из первого, получаем:              

9x + Зy = 80.                                  

Разделив на 3, приводим уравнение к виду!  

Зх + у = 26 2/3.                             

Но Зx, тройное число 50-копеечных монет, есть, конечно,  число целое.  Число 20-копеечных,  у, также целое.  Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным  (26 2/з). Наше предположение   о  разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.

Подобным же образом читатель убедится в неразрешимости двух других, «удешевленных» задач: с уплатою в 3 и 2 руб. Первая приводит к уравнению        

3x+y = 13 1/3,                                 I

вторая - к уравнению

3x + y = 6 1/3.

То и другое в целых числах неразрешимо.

Как видите, счетчик нисколько не рисковал, предлагая крупные суммы за решение этих задач: выдать премии никогда не придется.

Другое дело было бы, если бы требовалось уплатить двадцатью монетами названного достоинства не 5, не 3 и не 2 руб., а например 4 руб.: тогда задача легко ре­шалась бы и даже семью различными способами *).

 

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика