О портале "Математика. ру" arrow Такен arrow ИГРА В 15, ИЛИ ТАКЕН
Математический портал Математику.ру

Ф. Кэджори

Математику часто считают трудной и таинственной наукой вследствие многочисленных символических знаков, которые в ней применяются. Разумеется, нет ничего более непонятного, чем знаки, которых мы не знаем. Трудно даже следить за символическими знаками, которые мы понимаем лишь отчасти и которыми мы не привыкли пользоваться. Точно таким же образом технические термины какой-нибудь профессии или ремесла непонятны для тех, кто никогда не обучался им. Но это вовсе не потому, что они трудны сами по себе. Напротив, их всегда вводят только [для того], чтобы облегчить дело. Так и в математике, если идеям ее уделять серьезное внимание, символы неизменно служат для огромных упрощений [299, с. 50-51].

 

ИГРА В 15, ИЛИ ТАКЕН

Печать E-mail
02.03.2008 г.

ИГРА В 15, ИЛИ ТАКЕН

Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными ква­дратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр, математика В. Аренса.

 

Image

 

«Около полувека на­зад - в конце 70-х го­дов - вынырнула в Сое­диненных Штатах «игра в 15»; она быстро рас­пространилась и, благо­даря несчетному числу игроков, которых она заполонила, преврати­лась в настоящее об­щественное   бедствие.

«То же наблюдалось по эту сторону океана, в Евро­пе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пас­сажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магази­нах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заве­дений ловко использовали эту манию и устраивали боль­шие игорные турниры.

Игра проникла даже в торжественные залы герман­ского рейхстага. «Как сейчас вижу в рейхстаге седо­власых людей, сосредоточенно рассматривающих в своих руках квадратную коробочку»,- вспоминает известный географ и математик Зигмунд Гюнтер, бывший депутатом в годы игорной эпидемии.

«В Париже игра эта нашла себе приют под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилась из сто­лицы по всей провинции. «Не было такого уединенного сельского домика, где не гнездился бы этот паук, под­стерегая жертву, готовую запутаться в его сетях»,- пи­сал  один французский автор.

«В 1880 г. игорная лихорадка достигла, по-видимому, своей высшей точки. Но вскоре после этого тиран был повержен и побежден оружием математики. Математи­ческая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, разрешима толь­ко половина; другая не разрешима никакими ухищрениями.

 «Стало ясно, почему иные задачи не поддавались самым упорным усилиям, и почему устроители турниров отва­живались назначать огромные премии за разрешения задач. В этом отношении всех превзошел изобретатель игры, предложивший издателю нью-йоркской газеты для воскресного приложе­ния неразрешимую за­дачу с премией в 1000 долларов за ее разреше­ние; так как издатель колебался, то изобре­татель выразил полную готовность внести наз­ванную сумму из соб­ственного кармана. Имя изобретателя Самуэль (Сэм) Лойд. Он приобрел широ­кую известность как составитель остроумных задач и множества головоломок. Любопытно, что получить в Америке патент на придуманную игру ему не удалось. Согласно инструкции, он должен был представить «ра­бочую модель» для исполнения пробной партии; он пред­ложил чиновнику патентного бюро задачу, и когда по­следний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это математически невозмож­но». «В таком случае,- последовало возражение,- не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента». Лойд удовлетворился этой резолюцией,- но, вероятно, был бы более настойчив, если бы предвидел неслыханный успех своего изобретения» *).

Приведем собственный рассказ изобретателя игры о некоторых фактах из ее  истории:

 «Давнишние обитатели царства смекалки,- пишет Лойд,- помнят, как в начале 70-х годов я заставил весь мир ломать голову над коробкой с подвижными шашками, получившей известность под именем «игры в 15» 029_01

Image

 

Пятнадцать шашек были размещены в квадратной коробочке в правильном порядке, и только шашки 14 и 15 были переставлены, как показано на при­лагаемой иллюстрации (рис. 11). Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормальное положение, причем, однако, порядок шашек 14 и 15 должен быть исправлен.

«Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслу­жена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказы-

♦) Этот эпизод использовав Марком Твэном в его романе «Аме­риканский претендент».

 

Image

 

 

 

вали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновни­ках, целые ночи напролет простаивавших под уличным фонарем, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурманы, гово­рят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги».

 

Познакомим читателя с начатками теории этой игры. В полном виде она очень сложна и тесно примыкает к одному из отделов высшей алгебры («теория определителей»). Мы ограничимся лишь некоторыми соображени­ями, изложенными В. Аренсом.

«Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы по­средством последовательных передвижений, допускаемых наличием свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, т. е. в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо - 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6,

7, 8 и т. д. Такое нормальное конечное расположение мы даем здесь на рис.  10.

«Вообразите теперь расположение, при котором 15 ша­шек размещены в пестром беспорядке. Рядом передви­жений всегда можно привести шашку 1 на место, зани­маемое ею на рисунке.

«Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на соседнее место вправо. Затем, не трогая ша­шек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 на их нормаль­ные места: если они случайно не находятся в двух по­следних вертикальных рядах, то легко привести их в эту область и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь верхняя строка 1, 2, 3, 4 приведена в порядок, и при дальнейших манипуляциях с шашками мы трогать этого ряда не будем. Таким же путем ста­раемся мы привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 8; легко убедиться, что это всегда достижимо. Далее, на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение шашки 9 и 13; это тоже всегда возможно. Из всех приведенных в порядок шашек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 в дальнейшем ни одной не перемещают; остается небольшой участок в шесть полей, в котором одно свободно, а пять остальных заняты шашками 10, 11, 12, 14, 15 в произвольном порядке. В пределах этого шестиместного участка всегда можно привести на нормальные места шашки 10, 11, 12. Когда это достигнуто, то в по­следнем ряду шашки 14 и 15 окажутся размещенными либо в нормальном порядке, либо в обратном (рис. 11). Таким путем, который читатели легко могут проверить на деле, мы приходим к следующему результату.

«Любое начальное положение может быть приведено к расположению либо рис. 10 (положение I), либо рис. И (положение II).

«Если некоторое расположение, которое для кратко­сти обозначим буквою S, может быть преобразовано в по­ложение I, то, очевидно, возможно и обратное - пере­вести положение I в положение S. Ведь все ходы шашек обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 12 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположными движениями.

«Итак, мы имеем две такие серии расположений, что положения одной серии могут быть переведены в нор­мальное I, а другой серии - в положение II. И наоборот, из нормального расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения II - любое положение второй серии. Наконец, два любых располо­жения, принадлежащих к одной и той же серии, могут быть переводимы друг в друга.

«Нельзя ли идти дальше и объединить эти два рас­положения - I и II? Можно строго доказать (не станем входить в подробности), что положения эти не превра­щаются одно в другое никаким числом ходов. Поэтому все огромное число размещений шашек распадается на две разобщенные серии: 1) на те, которые могут быть переведены в нормальное I: это - положения разреши­мые, 2) на те, которые могут быть переведены в положе­ние II и, следовательно, ни при каких обстоятельствах не переводятся в нормальное расположение: это - поло­жения, за разрешение которых назначались огромные премии.

«Как узнать, принадлежит ли заданное расположение к первой или ко второй серии? Пример  разъяснит это.

«Рассмотрим такое расположение.

«Первый ряд шашек в порядке, как и второй, за ис­ключением последней шашки (9). Эта шашка занимает место, которое в нормальном расположении принадлежит 8. Шашка 9 стоит, значит, ранее шашки 8: такое уп­реждение нормального порядка называют «беспорядком». О шашке 9 мы скажем: здесь имеет место 1 беспорядок. Рассматривая дальнейшие шашки, обнаруживаем «уп­реждение» для шашки 14; она поставлена на три места (шашек 12, 13, 11) ранее своего нормального положения; здесь у нас 3 беспорядка (14 ранее 12; 14 ранее 13; 14 ра­нее 11). Всего мы насчитали уже 1+3=4 беспорядка. Далее, шашка 12 помещена ранее шашки 11, и точно так же шашка 13 ранее шашки 11. Это дает еще 2 беспорядка. Итого имеем 6 беспорядков. Подобным образом для каж­дого расположения устанавливают общее число беспоряд­ков, освободив предварительно последнее место в правом нижнем углу. Если общее число беспорядков, как в рас­смотренном случае, четное, то заданное расположение может быть приведено к нормальному конечному; другими словами, оно принадлежит к разрешимым. Если же число беспорядков нечетное, то расположение принадле­жит ко второй серии, т. е. к неразрешимым (нуль беспо­рядков принимается за четное число их).

 

Image

 

Image

 

 

 

«Благодаря ясности, внесенной  в   эту   игру математикой,   прежняя

лихорадочная     страст­ность в увлечении сей­час

 

совершенно немыс­лима.  Математика соз­дала     исчерпывающую теорию  игры,   теорию, не оставляющую ни од­ного   сомнительного   пункта.   Исход   игры   зависит  не от  каких-либо  случайностей,  не   от  находчивости,   как в других  играх,  а  от чисто  математических  факторов, предопределяющих   его  с  безусловной  достоверностью». Обратимся теперь к головоломкам в этой области. Вот несколько   разрешимых   задач, придуман­ных изобретателем игры:

 
« Пред.
Яндекс.Метрика