О портале "Математика. ру" arrow Числовые великаны arrow Задача № 63. Решение.
Математический портал Математику.ру

Л. де Бройль

Математический язык предоставляет в распоряжение дедукции точный инструмент, в котором она нуждается для совершения, по возможности безошибочного, перехода от посылок к выводам. Исходя в начале рассуждения из абстрактных формул, в которых физические величины представлены символами, ученый, использующий дедуктивное рассуждение, преобразует по правилам логики свои уравнения и приходит к окончательным соотношениям, которые он хочет проверить. Тогда он должен заменить символы цифрами, для того чтобы получить численные результаты, которые можно сравнить с экспериментом; рассуждение уступает место расчету. Такова схема дедуктивного рассуждения в том виде, в каком оно используется во всех науках, достаточно точных, достаточно разработанных для того, чтобы в них можно было применять математический аппарат [31, с. 177].

 

Задача № 63. Решение.

Печать E-mail
02.03.2008 г.

Решение.

Хочется ответить: 999,-но, вероятно, вы уже подозре­ваете, что ответ другой, иначе задача была бы черезчур проста. И, действительно, правильный ответ пишется так

 

Image

 

Выражение это означает: „девять в степени девять в девятой степени". Другими словами: нужно составить произведение из стольких девяток, сколько единиц в ре­зультате умножения:

9X9X9X9X9X9X9X9X9

Достаточно только начать вычисление, чтобы ощутить огромность предстоящего результата. Если у вас хватит терпения выполнить перемножение девяти девяток, вы получите число:         387420489.

Главная работа  только   начинается:   теперь   нужно найти

387420489

9

т.-е. произведение 387420489 девяток. Придется сделать круглым счетом 400 миллионов умножений...

У вас, конечно, не будет времени довести до конца подобное вычисление. Но я лишен возможности сообщить вам готовый результат-по трем причинам, которые нельзя не признать уважительными. Во-первых, число это никогда и никем еще не было вычислено (известен только приближенный результат). Во-вторых, если бы даже оно и было вычислено, то, чтобы напечатать его, понадобилось бы не менее тысячи таких книг как эта, потому что число наше состоит из 369 693 100 цифр; набранное обыкновенным шрифтом, оно имело бы в длину 1000 км... Наконец, если бы меня снабдили достаточным количеством бумаги и чернил, я и тогда не мог бы удовлетворить вашего любопытства. Вы легко можете сообразить почему если я способен писать, скажем, без перерыва по две цифры в секунду, то в час я напишу 7200 цифр, а в сутки, работая непрерывно день и ночь,-не более 172800 цифр. Отсюда следует, что не отрываясь ни на секунду от пера, трудясь круглые сутки изо дня в день без отдыха, я просидел бы за работой не менее 7 лет, прежде чем написал бы это число...

 Могу сообщить вам об атом числе только следующее: оно начинается цифрами 428124773175747048036987118 и кончается 89. Что находится между этим началом и концом-неизвестно. А ведь там 369693061 цифра!..

Вы видите, что уже число цифр нашего результата невообразимо огромно. Как же велико само число, выражаемое этим длиннейшим рядом цифр? Трудно дать
хотя бы приблизительное представление о его громад­ности, потому что такого множества отдельных вещей, считая даже каждый электрон за отдельную вещь-нет в  целой  вселенной!   

Архимед вычислил некогда, сколько песчинок за­ключал бы в себе мир, если бы весь он, до неподвижных звезд, был наполнен тончайшим песком. У него полу­чился результат, не превышающий 1-цы с 63 нулями. Наше число состоит не из 64-х, а из 370 миллионов цифр-следовательно, оно неизмеримо превышает огром­ное число Архимеда.

 

Поступим же по примеру Архимеда, но вместо „исчи­сления песчинок", произведем „исчисление электронов". Вы уже знаете, что электрон меньше песчинки примерно во столько же раз, во сколько раз песчинка меньше зем­ного шара. Для радиуса видимой вселенной примем рас­стояние в миллиард световых лет. Так как свет про­бегает в секунду 300000 км, а в году 31 миллион секунд, то можно сосчитать, что „световой год" равен круглым счетом 10 биллионам км (гнаться за большой точностью здесь бесполезно). Значит, для радиуса всей известной нам вселенной получаем величину

10 миллиардов биллионов км

или,-прибегая к способу изображения числовых вели­канов, объясненному на стр. 56,-

1022 км.

Объем шара такого радиуса можно вычислить по пра­вилам геометрии: он равен (с округлением) 4 X 1066 куб. км.

Умножив это число на Число куб. сантиметров в куб. ки­лометре (1015), получим для объема видимой вселенной величину

1081 куб. см 1).

Теперь представим себе, что весь этот объем сплошь заполнен самыми тяжелыми из известных нам атомов- атомами элемента урана, которых идет на грамм около 1022 штук. Их поместилось бы в шаре указанного объема 10103  штуки. Дознано, что в каждом атоме урана содер­жится 92 электрона. Округлив это число до 100, узнаем, что во всей доступной нашему исследованию вселенной могло бы поместиться не более

10      электронов.                4

Число, состоящее „всего лишь" из 106 цифр... Как это мизерно по сравнению с нашим числовым великаном из 369 миллионов  цифр!

Вы видите, что, наполняя всю вселенную-величайшее, что мы знаем-сплошь электронами, т. е. мельчайшим из того, что нам известно,-мы не исчерпали бы и не­большой доли того исполинского числа, которое скромно скрывается под изображением/. Познакомившись с этим замаскированным гигантом, обратимся к его противоположности.

 

1) Небезынтересно отметить, что Архимед в своем исчислении песчи­нок определял объем вселенной в 5 X 1054   куб. см


Соответствующий  числовой лиллипут получится, если разделим 1-цу на это число. Будем иметь:

 

 

Image


Мы имеем здесь знакомое нам огромное число в знаме­нателе. Сверх-великан превратился в сверх-лиллипута.

 

Image

 

 
След. »
Яндекс.Метрика