О портале "Математика. ру" arrow Числовые диковинки arrow Задача № 40. Решение
Математический портал Математику.ру

Дж. Биркгоф

Взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с воображением - именно они и составляют самую сущность живой математики [198, с. 16].

 

Задача № 40. Решение

Печать E-mail
29.02.2008 г.

Решение.

Нетрудно догадаться, каким образом приведенный числовой ряд оказался столь близким родственником числа 142857; последнее число представляет собою период бесконечной дроби, равной 1/7, наше же число является, вероятно, периодом какой-нибудь другой дроби. Так и есть: наш длинный ряд цифр-не что иное, как период беско­нечной дроби, получающейся от превращения в десятич­ную простой дроби 1/7:

1/7 = 0, (0588235294117647).

Вот почему при умножении этого числа на множители от 1 до 16 получается тот же ряд цифр, в котором лишь одна или несколько начальных цифр перенесены в конец числа. И наоборот - перенося одну или несколько цифр ряда из начала в конец, мы тем самым увеличиваем это число в несколько раз (от 1 до 16). Складывая два кольца, повернутых одно относительно другого, мы производим сложение двух умноженных чисел, например, утроен­ного и удесятеренного - и, конечно, должны получить то же кольцо цифр, потому что умножение на 3 + 10, т. е. на 13, вызывает лишь перестановку группы цифр, неза­метную при круговом расположении.

При некотором положении колец получаются, однако, суммы, немного отличающиеся от первоначального ряда. Если, например, повернем кольца так, чтобы складывать пришлось  шестикратное  число с пятнадцатикратным,   то в сумме должно получиться число, умноженное на 6 + 15 - = 21. А такое произведение, как легко догадаться, соста­вляется уже несколько иначе, чем произведение на мно­житель, меньший 16. В самом деле: так как наше число есть период дроби равной 1/17, то, будучи умножено на 17, оно должно дать 16 девяток (т. е. столько, сколько их в подразумеваемом знаменателе периодической дроби), или 1 с 17 нулями минус 1. Поэтому при умножении на 21, т.-е. на 4 + 17, мы должны получить четырехкратное число, впереди которого стоит 1, а от разряда единиц отнята 1. Четырехкратное же число начнется с цифр, получающихся при превращении в десятичную дробь простой дроби 4/17.

 

Image

Порядок остальных цифр нам известен: 5294       Значит, 21-кратное наше число будет

2352941176470588.

Столько именно и получается от сложения кругов цифр при соответственном их расположении. При вычита­нии числовых колец такого случая, разумеется, быть не может.

Чисел, подобных тем двум, с которыми мы познако­мились, существует множество. Все они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхожде­нием - от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обла­дает рассмотренным выше любопытным свойством давать, при   умножении   круговую   перестановку   цифр.   Не вдаваясь в тонкости теории, отметим, что это имеет место только для тех дробей, число цифр периода кото­рых на единицу меньше знаменателя соответ­ствующей простой дроби.

 

Так, например:

 

Image

 

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дро­бей, получающихся от превращения 1/19, 1/23 и 1/29 в деся­тичные, обладают теми же особенностями, как и рассмо­тренные нами периоды дробей 1/7 и 1/17.

Например, от 1/29 получаем число

0344827586206896551724137931.

Если указанное ceйчас условие (относительно числа цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1/13= 0, 076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число: 1/18 = 0, 153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1 : 13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, т. е. 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12; следовательно, не все  множители   будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4. 9, 10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076923 X 3 = 230769), на остальные-нет. Вот почему от 1/13 получается число, лишь отчасти пригодное для „магического кольца". То же надо сказать и о целом ряде других периодов.

После этого, думаем, нельзя не согласиться; что длин­нейшие периоды бесконечных дробей представляют со­бою настоящую Калифорнию интереснейших арифметиче­ских достопримечательностей.


Image

 
След. »
Яндекс.Метрика