О портале "Математика. ру" arrow Числовые лилипуты arrow Задача № 39. решение
Математический портал Математику.ру

Дж. Кристал

Каждую математическую книгу, стоящую прочтения, следует перечитывать "вдоль и поперек", если позволено будет употребить такое выражение. Немного изменив совет Лагранжа, я сказал бы: "Идите дальше, но чаще возвращайтесь, чтобы укрепить собственную веру".

Если вам попадется трудный или скучный абзац, пропустите его; вы возвратитесь к нему позже, когда увидите его важность или почувствуете, что он необходим для дальнейшего чтения [365, с. 88].

 

Задача № 39. решение

Печать E-mail
29.02.2008 г.

Решение.

Мы нападаем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше- не что иное, как седьмая часть 999999, а, следовательно,

дробь■     И   действительно,   если  вы станете

превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:

 

Image

 

 

Наше   загадочное    число   есть    период    бесконечной периодической дроби, которая получается при  превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении, утроении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7. Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2-один из тех остатков, которые у нас получались уже при пре­вращении 1/7: ясно, что должен повториться и прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; иными словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое произойдет и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т.-е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую 1-цу, или,-что то же самое-0,9999 . . .

Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Переставляем группу цифр спереди на конец, т. -е. согласно только что сказанному, мы умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7, 3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, не­сколько седьмых долей,-т.-е. опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей,   которые в сумме дают 1 или больше 1.

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотрен­ными, но  все же   сходный   с   ними.   Рассмотрим   внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, т. е. на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8, мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (т. е. к 999999) прибавить наше число

 

Image

 

Окончательный результат-1142856-отличается от умно­жаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна 1-ца, а последняя цифра на 1-цу же уменьшена. По сход­ному правилу составляются произведения 142857 на вся­кое другое число, больше 7, - как легко усмотреть из следующих строк:

 

Image

 

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в мно­жителе, и то же число вычитается из результата 1). Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следо­вательно, результат умножения таков:

12571428 - 12 = 12571416.

От умножения 142857X365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52142857 - 52 = 52142805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно-нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвя­щенных молниеносно-быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или, - что то же самое-от 2/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 9-ти:

1) Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умно­женному на число семерок в множителе: такое умножение легко выпол­нить в уме. Например, 142857 + 28 - 999999 + 4 - 4000000 - 4 = = 3999996.

 

 

 

Image

 

Мы уже имели дело с такими числами-именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказан­ное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142857 = 143 * 999.

Но 143 = 13 X 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 X 11 X 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно полу­читься от умножения 142857 X 7:

 

Image

 

(все эти преобразования мы,  конечно,  можем  проделать в уме).

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика