О портале "Математика. ру" arrow Потомок древнего абака arrow Задача № 39. решение
Математический портал Математику.ру

А. Жирар

Мы никогда, например, не сделаемся математиками, даже зная наизусть все чужие доказательства, если наш ум не способен самостоятельно разрешать какие бы то ни было проблемы... [91, с. 85].

 

Задача № 39. решение

Печать E-mail
29.02.2008 г.

Решение.

Мы нападаем на путь к разгадке, если продлим немного последнюю табличку и попробуем умножить наше число на 7: в результате получится 999999. Значит, число наше- не что иное, как седьмая часть 999999, а, следовательно,

дробь■     И   действительно,   если  вы станете

превращать 1/7 в десятичную дробь, вы получите:

 

Image

 

 

Наше   загадочное    число   есть    период    бесконечной периодической дроби, которая получается при  превращении 1/7 в десятичную. Становится понятным теперь, почему при удвоении, утроении и т. д. этого числа происходит лишь перестановка одной группы цифр на другое место. Ведь умножение этого числа на 2 делает его равным 2/7 и, следовательно, равносильно превращению в десятичную дробь уже не 1/7, а 2/7. Начав же превращать дробь 2/7 в десятичную, вы сразу заметите, что цифра 2-один из тех остатков, которые у нас получались уже при пре­вращении 1/7: ясно, что должен повториться и прежний ряд цифр частного, но он начнется с другой цифры; иными словами, должен получиться тот же период, но только несколько начальных цифр его очутятся на конце. То же самое произойдет и при умножении на 3, на 4, на 5 и на 6, т.-е. на все числа, получающиеся в остатках. При умножении же на 7 мы должны получить целую 1-цу, или,-что то же самое-0,9999 . . .

Любопытные результаты сложения и вычитания чисел на кольцах находят себе объяснение в том же факте, что 142857 есть период дроби, равной 1/7. В самом деле: что мы делаем, поворачивая кольцо на несколько цифр? Переставляем группу цифр спереди на конец, т. -е. согласно только что сказанному, мы умножаем число 142857 на 2, на 3, на 4 и т. д. Следовательно, все действия сложения или вычитания чисел, написанных на кольцах, сводятся к сложению или вычитанию дробей 1/7, 2/7, 3/7 и т. д. В результате мы должны получить, конечно, не­сколько седьмых долей,-т.-е. опять-таки наш ряд цифр 142857 в той или иной круговой перестановке. Отсюда надо исключить лишь случаи, когда складываются такие числа седьмых долей,   которые в сумме дают 1 или больше 1.

Но и последние случаи исключаются не вполне: они дают результат, правда, не тождественный с рассмотрен­ными, но  все же   сходный   с   ними.   Рассмотрим   внимательнее, что должно получиться от умножения нашего загадочного числа на множитель больше 7, т. е. на 8, на 9 и т. д. Умножить 142857, например, на 8, мы можем так: умножить сначала на 7 и к произведению (т. е. к 999999) прибавить наше число

 

Image

 

Окончательный результат-1142856-отличается от умно­жаемого 142857 только тем, что впереди стоит еще одна 1-ца, а последняя цифра на 1-цу же уменьшена. По сход­ному правилу составляются произведения 142857 на вся­кое другое число, больше 7, - как легко усмотреть из следующих строк:

 

Image

 

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в мно­жителе, и то же число вычитается из результата 1). Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следо­вательно, результат умножения таков:

12571428 - 12 = 12571416.

От умножения 142857X365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52142857 - 52 = 52142805.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно-нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвя­щенных молниеносно-быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или, - что то же самое-от 2/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из 9-ти:

1) Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умно­женному на число семерок в множителе: такое умножение легко выпол­нить в уме. Например, 142857 + 28 - 999999 + 4 - 4000000 - 4 = = 3999996.

 

 

 

Image

 

Мы уже имели дело с такими числами-именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказан­ное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142857 = 143 * 999.

Но 143 = 13 X 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 X 11 X 13, мы будем в состоянии, не выполняя действия, предсказать, что должно полу­читься от умножения 142857 X 7:

 

Image

 

(все эти преобразования мы,  конечно,  можем  проделать в уме).

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика