О портале "Математика. ру" arrow Недесятичные системы arrow Задача № 24. Решение.
Математический портал Математику.ру

А. Пуанкаре

Доказательство, не являющееся строгим, есть ничто [цит. по: 167, с. 66].

 

Задача № 24. Решение.

Печать E-mail
29.02.2008 г.

Решение.

Оказывается, нет. Если основание, напр., семь, то „16" означает 7 + 6=13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое не­четное число + 6=нечетному числу).

Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на два (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для 10-тичной системы счисления, для других же- не всегда. А именно, он верен только для систем счи­сления с четным основанием: 6-ричной, 8-ричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с не­четным основанием? Достаточно краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число „136" четное во всякой системе счи­сления, даже и с нечетным основанием: действительно, в последнем случае имеем: нечетные числа 1) + нечетное число + четное = четному числу.

С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В 7-рнчной или в 8-ричной системе число так изображенное на 5 не делится (по­тому что оно равно девятнадцати или двадцати одному). Точно также общеизвестный признак делимости на 9 (сумма цифр . . . ) правилен только для десятичной си­стемы. Напротив, в пятиричной системе тот же   признак применим для делимости на 4, а, например,-в семирич­ной-на 6. Так, число „323" в пятиричной системе де­лится на 4, потому что 3 + 24 + 3=8, а число „51" в се­миричной-на 6 (легко убедиться, переведя числа в деся­тичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и прило­жит те же рассуждения, соответственно измененные, на­пример, к семиричной системе для вывода признака де­лимости на 6.

Труднее доказать чисто арифметическим путем спра­ведливость следующих положений:

 

Image

 

Знакомые с начатками алгебры легко найдут основа­ние, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут проверить их рядом проб для разных си­стем счисления.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика