Решение. Оказывается, нет. Если основание, напр., семь, то „16" означает 7 + 6=13, число нечетное. То же будет и для всякого нечетного основания (потому что всякое нечетное число + 6=нечетному числу). Отсюда вывод, что знакомый нам признак делимости на два (последняя цифра четная) безусловно пригоден только для 10-тичной системы счисления, для других же- не всегда. А именно, он верен только для систем счисления с четным основанием: 6-ричной, 8-ричной и т. п. Каков же признак делимости на 2 для систем с нечетным основанием? Достаточно краткого размышления, чтобы установить его: сумма цифр должна быть четной. Например, число „136" четное во всякой системе счисления, даже и с нечетным основанием: действительно, в последнем случае имеем: нечетные числа 1) + нечетное число + четное = четному числу. С такою же осторожностью надо отнестись к задаче: всегда ли число 25 делится на 5? В 7-рнчной или в 8-ричной системе число так изображенное на 5 не делится (потому что оно равно девятнадцати или двадцати одному). Точно также общеизвестный признак делимости на 9 (сумма цифр . . . ) правилен только для десятичной системы. Напротив, в пятиричной системе тот же признак применим для делимости на 4, а, например,-в семиричной-на 6. Так, число „323" в пятиричной системе делится на 4, потому что 3 + 24 + 3=8, а число „51" в семиричной-на 6 (легко убедиться, переведя числа в десятичную систему: получим соответственно 88 и 36). Почему это так, читатель сам сможет сообразить, если вникнет хорошенько в вывод признака делимости на 9 и приложит те же рассуждения, соответственно измененные, например, к семиричной системе для вывода признака делимости на 6. Труднее доказать чисто арифметическим путем справедливость следующих положений:  Знакомые с начатками алгебры легко найдут основание, объясняющее свойство этих равенств. Остальные читатели могут проверить их рядом проб для разных систем счисления.
|