О портале "Математика. ру" arrow Потомок древнего абака arrow Задача 6. Решение
Математический портал Математику.ру

 

То, что называют эвристикой, можно кратко определить как особое собрание принципов, предназначенное для тех, кто после изучения обычных "Начал" имеет желание научиться решать математические задачи; изучение эвристики полезно лишь для достижения этой цели. Эвристика создана трудами трех людей: Евклида, автора "Начал", Аполлония из Перги и Аристея старшего. Она обучает приемам анализа и синтеза [цит. по: 246, с. 132].

 

 

Задача 6. Решение

Печать E-mail
29.02.2008 г.

Решение.

На первые два вопроса, вероятно, без труда ответят если  не   все,   то   во   всяком   случае, - многие   читатели нашей книжки. Третий вопрос не так прост. Но рассмотрим наши задачи по порядку.

1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу „с иксом и игреком", будучи уверен, что задача-„соб­ственно говоря, алгебраическая". И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений (только не неопределенных, как ему казалось).

Составить два уравнения с двумя неизвестными для дан ной задачи очень нетрудно; вот они:

х + у = 138                                    5х + 3у - 540,

где X - число аршин синего, а у - черного сукна.

 

2. Однако, задача легко решается и арифметически. Если бы вам пришлось решать ее, она, конечно, не за­труднила бы вас. Вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее,-тогда за всю партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5 X 138 = = 690 рублей; это на 690 - 540 - 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое, черное сукно по 3 рубля аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей: очевидно, число аршин черного   сукна   определится,   если   разделить   150  на  2.

Получаем ответ-75; вычтя эти 75 аршин из общего числа 138 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138 - 75 = 63. Так и должен был решать задачу Петя.

3. На очереди третий вопрос: как решил задачу Удодов-старший?

В рассказе говорится об этом очень кратко: „он щел­кает на счетах, и у него получается 75 н 63, что и нужно было".

В чем же, однако, состояло это „щелканье на счетах"? Каков способ решения задачи с помощью счетов?

Разгадка такова: злополучная задача решается на сче­тах тем же приемом, что и на бумаге,-теми же арифме­тическими действиями. Но выполнение их значительно упрощается, благодаря преимуществам, которые наши рус­ские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, „отставной губернский секретарь" Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать „с иксом и игреком". Проследим же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.

Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умно­жить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, - т. е. просто пере­нес 138 одной проволокой выше,-а затем разделил это число пополам, опять-таки на счетах же. Деление начи­нают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной про­волоке нечетное, то выходят из затруднения, „раздробляя" одну косточку этой проволоки на 10 нижних.

В нашем, например, случае делят 1.380 пополам так: на нижней  проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а оставшуюся 1 косточку за­меняют мысленно 10-ю нижними и делят пополам, доба­вляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней прово­локе раздробляют одну косточку, прибавляя 5 сотен к ко­сточкам средней проволоки. В результате на верхней про­волоке совсем не остается косточек; на средней 1 + 5 = = 6 сотен, на нижней 4 + 5 = 9 десятков. Итого, 690 еди­ниц. Выполняется все это быстро, автоматически.

Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах-всем известно.

Наконец, полученную разность, 150, оставалось разде­лить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 ко­сточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков н 5 единиц, т- е. 75.

Все эти простые действия выполняются на счетах, ко­нечно, гораздо скорее, чем тут описано.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика