О портале "Математика. ру" arrow Исчезновение фигур arrow Еще один вариант парадокса
Математический портал Математику.ру

Л. де Бройль

Нельзя сказать, что строгие аксиоматические теории являются бесполезными, но, вообще говоря, они почти не способствуют наиболее замечательным успехам науки. И глубокая причина этого в том, что аксиоматический метод действительно стремится устранить индуктивную интуицию - единственный метод, который может помочь выйти за пределы уже известного; аксиоматический метод может быть хорошим методом классификации или нреподавания, но он не является методом открытия [31, с. 179].

 

Еще один вариант парадокса

Печать E-mail
28.02.2008 г.

Еще один вариант парадокса

При суммировании площадей частей перестановка треугольников В и С в верхней части рис. 63 приво­дит  к кажущейся  потере одной  квадратной  единицы.

Как читатель заметит, это происходит за счет площадей    заштрихованных частей:  на верхней части

 

Image

 

 

рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков, на нижней - 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их фигурами специального вида, мы приходим к новой, поразительной форме парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, кото­рый можно разрезать на 5 частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник, причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними, внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу (рис. 64).

Возможность преобразования одной фигуры в другую, тех же внешних размеров, но с отверстием внутри периметра, основана на следующем. Если взять точку X точно в трех единицах от основания и в пяти единицах от боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не будет. Однако ломаная, соединяющая точку X с противоположными вершинами прямоугольника, будет так мало откло­няться от диагонали, что это будет почти незаметно.

 

    После перестановки треугольников В и С на нижней половине рисунка части фигуры будут слегка пере­крываться вдоль диагонали.

С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию, соединяющую противоположные вершины прямоугольника, как точно проведенную диагональ,   то   линия   XW  будет   чуть   длиннее трех

 

Image

 

единиц. И как следствие этого второй прямоуголь­ник будет несколько выше, чем кажется. В пер­вом случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае недостающий квадратик распределен по ширине пря­моугольника. Как мы уже знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному из этих двух вариантов  построения.   В  обоих  случаях неточности фигур настолько незначительны,    что    они оказываются совершенно незаметными.

Наиболее изящной формой этого парадокса явля­ются квадраты, которые после перераспределения частей и образования   отверстия   остаются  квадратами.

 

Image

 

Такие квадраты известны в бесчисленных вариан­тах и с отверстиями в любое число квадратных еди­ниц. Некоторые, наиболее интересные из них изобра­жены на рис. 65 и 66.

Можно указать на простую формулу, связываю­щую размер отверстия с пропорциями большого тре­угольника. Три размера, о которых пойдет речь, мы обозначим через А, В к С (рис. 67).

Площадь отверстия в квадратных единицах равна' разности между произведением А на С и ближайшим к нему кратным размера В. Так, в последнем примере произведение А я С равно 25. Ближайшее кратное размера В к 25 есть 24, поэтому отверстие получается

 

Image

 

в одну квадратную еди­ницу. Это правило дейст­вует независимо от того, проведена ли настоящая диагональ или же точка X на рис. 67 нанесена ак­куратно на пересечении линий квадратной сетки. Если диагональ, как это и должно быть, вычерчи­вается как строго прямая

линия или если точка X берется точно в одной из вер­шин квадратной сетки, то никакого парадокса не по­лучается. В этих случаях формула дает отверстие раз­мером в нуль квадратных единиц, обозначая этим, ко­нечно, что отверстия нет вообще.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика