Еще один вариант парадокса

При суммировании площадей частей перестановка треугольников В и С в верхней части рис. 63 приво­дит  к кажущейся  потере одной  квадратной  единицы.

Как читатель заметит, это происходит за счет площадей    заштрихованных частей:  на верхней части

рисунка имеется 15 заштрихованных квадратиков, на нижней - 16. Заменяя заштрихованные куски двумя покрывающими их фигурами специального вида, мы приходим к новой, поразительной форме парадокса. Теперь перед нами прямоугольник, кото­рый можно разрезать на 5 частей, а затем, меняя их местами, составить новый прямоугольник, причем, несмотря на то, что его линейные размеры остаются прежними, внутри появляется отверстие площадью в одну квадратную единицу (рис. 64).

Возможность преобразования одной фигуры в другую, тех же внешних размеров, но с отверстием внутри периметра, основана на следующем. Если взять точку X точно в трех единицах от основания и в пяти единицах от боковой стороны прямоугольника, то диагональ через нее проходить не будет. Однако ломаная, соединяющая точку X с противоположными вершинами прямоугольника, будет так мало откло­няться от диагонали, что это будет почти незаметно.

    После перестановки треугольников В и С на нижней половине рисунка части фигуры будут слегка пере­крываться вдоль диагонали.

С другой стороны, если в верхней части рисунка рассматривать линию, соединяющую противоположные вершины прямоугольника, как точно проведенную диагональ,   то   линия   XW  будет   чуть   длиннее трех

единиц. И как следствие этого второй прямоуголь­ник будет несколько выше, чем кажется. В пер­вом случае недостающую единицу площади можно считать распределенной с угла на угол и образующей перекрывание вдоль диагоналей. Во втором случае недостающий квадратик распределен по ширине пря­моугольника. Как мы уже знаем из предыдущего, все парадоксы такого рода можно отнести к одному из этих двух вариантов  построения.   В  обоих  случаях неточности фигур настолько незначительны,    что    они оказываются совершенно незаметными.

Наиболее изящной формой этого парадокса явля­ются квадраты, которые после перераспределения частей и образования   отверстия   остаются  квадратами.

Такие квадраты известны в бесчисленных вариан­тах и с отверстиями в любое число квадратных еди­ниц. Некоторые, наиболее интересные из них изобра­жены на рис. 65 и 66.

Можно указать на простую формулу, связываю­щую размер отверстия с пропорциями большого тре­угольника. Три размера, о которых пойдет речь, мы обозначим через А, В к С (рис. 67).

Площадь отверстия в квадратных единицах равна' разности между произведением А на С и ближайшим к нему кратным размера В. Так, в последнем примере произведение А я С равно 25. Ближайшее кратное размера В к 25 есть 24, поэтому отверстие получается

в одну квадратную еди­ницу. Это правило дейст­вует независимо от того, проведена ли настоящая диагональ или же точка X на рис. 67 нанесена ак­куратно на пересечении линий квадратной сетки. Если диагональ, как это и должно быть, вычерчи­вается как строго прямая

линия или если точка X берется точно в одной из вер­шин квадратной сетки, то никакого парадокса не по­лучается. В этих случаях формула дает отверстие раз­мером в нуль квадратных единиц, обозначая этим, ко­нечно, что отверстия нет вообще.