О портале "Математика. ру" arrow Исчезновение фигур arrow Числа Фибоначчи
Математический портал Математику.ру

П. Дирихле, Р. Дедекинд

Первым процессом... в эффективном изучении науки должен быть процесс упрощения и сведения результатов предшествующего исследования к форме, в которой ум может усвоить их. Результаты этого упрощения могут принять форму чисто математических формул или физических гипотез [цит. по: 314, с. 458].

 

Числа Фибоначчи

Печать E-mail
28.02.2008 г.

Числа Фибоначчи

Оказывается, что длины сторон четырех частей, составляющих фигуры (рис. 59 и 60), являются чле­нами ряда Фибоначчи, т. е. ряда чисел, начинающе­гося с двух единиц: 1, 1, каждое из которых, начи­ная с третьего, есть сум­ма двух предшествую­щих. Наш ряд имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Расположение частей, на которые был разрезан квадрат, в виде прямо­угольника иллюстрирует одно из свойств ряда Фи­боначчи, а именно сле­дующее; при возведении в квадрат любого члена этого ряда получается произведение двух сосед­них членов ряда плюс или минус единица. В нашем примере сторона квадрата равна 8, а площадь рав­на 64. Восьмерка в ряду Фибоначчи расположена между 5 и 13. Так как числа 5 и 13 становятся дли­нами сторон прямоугольника, то площадь его долж­на быть равной 65, что дает прирост площади в. одну единицу.

Благодаря этому свойству ряда можно построить квадрат, стороной которого является любое число Фи­боначчи,   большее   единицы,   а   затем   разрезать   его в соответствии с    двумя     предшествующими числами этого ряда.

 

Image

 

 

Если, например, взять квадрат в 13x13 единиц, то три его стороны следует разделить на отрезки дли­ной в 5 и 8 единиц, а затем разрезать, как показано на рис. 60. Площадь этого квадрата равна 169 квад­ратным единицам. Стороны прямоугольника, обра­зованного частями квадратов, будут 21 и 8, что дает площадь в 168 квадратных единиц. Здесь благодаря пе­рекрыванию частей вдоль диагонали одна квадратная единица не прибавляется, а теряется.

Если взять квадрат со стороной 5, то тоже произой­дет потеря одной квадратной единицы. Можно сфор­мулировать и общее правило: приняв за сторону квадрата какое-нибудь число из «первой» подпоследо­вательности расположенных через одно чисел Фибо­наччи (3, 8, ...) и составив из частей этого квадрата прямоугольник, мы получим вдоль его диагонали про­свет и как следствие кажущийся прирост площади на одну единицу. Взяв же за сторону квадрата какое-нибудь число из «второй» подпоследовательности (2, 5, 13, ...), мы получим вдоль диагонали прямо­угольника перекрывание площадей и потерю одной квад­ратной единицы площади.

Чем дальше мы продвигаемся по ряду чисел Фибо­наччи, тем менее заметными становятся перекрывания или просветы. И наоборот, чем ниже мы спускаемся по ряду, тем они становятся более существенными. Можно построить парадокс даже на квадрате со сто­роной в две единицы. Но тогда в прямоугольнике 3 X 1 получается столь очевидное перекрывание, что эффект парадокса полностью теряется.

Используя для парадокса другие ряды Фибонач­чи, можно получить бесчисленное множество вариан­тов. Так, например, квадраты, основанные на ряде 2, 4, 6, 10, 16, 26 и т. д., приводят к потерям или при­ростам площади в 4 квадратные единицы. Величину этих потерь или приростов можно узнать, вычисляя для данного ряда разности между квадратом любого его члена и произведением двух его соседних членов слева и справа. Ряд 3, 4, 7, 11, 18, 29 и т. д. дает при­рост или потерю в пять квадратных единиц. Т. де Мулидар   привел рисунок  квадрата,   основанного     на ряде 1, 4, 5, 9, 14 и т. д. Сторона этого квадрата взята равной 9, и. после преобразования его в прямоуголь­ник теряется 11 квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19, ... также дает потерю или прирост в 11 квадрат­ных единиц. В обоих случаях перекрывания (или просветы) вдоль диагонали оказываются настолько большими, что их сразу можно заметить.

Обозначив какие-нибудь три последовательных числа Фибоначчи через А, В и С, а через X - потерю или прирост площади, мы получим следующие две фор­мулы:

Если подставить вместо X желаемый прирост или потерю, а вместо В число, которое принято за длину стороны квадрата, то можно построить квадратное уравнение, из которого найдутся два других числа Фибоначчи, хотя это, конечно, не обязательно будут рациональные числа. Оказывается, например, что, деля квадрат на фигуры с рациональными длинами сторон, нельзя получить прирост или потерю в две или три квадратные единицы. С помощью иррациональ­ных чисел это. конечно, можно достигнуть. Так, ряд   Фибоначчи приводит   к   приросту или потере в три квадратные единицы.

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика