О портале "Математика. ру" arrow Исчезновение фигур arrow Парадокс с площадью
Математический портал Математику.ру

Л. Эйлер

... Все такие свойства чисел, которые опираются на одну только индукцию, я считаю недостоверными до тех пор, пока они не будут подкреплены аподиктическими доказательствами либо вовсе опровергнуты [цит. по: 121, вып. 17, с. 296].

 

Парадокс с площадью

Печать E-mail
28.02.2008 г.

Парадокс с площадью

 

Вот еще один парадокс с площадью. Меняя поло­жение частей А и С, как показано на рис. 58, можно превратить прямоугольник площадью в 30 квадрат­ных единиц в два меньших прямоугольника с общей площадью в 32 квадратные единицы, получая, таким образом, «выигрыш» в две квадратные единицы. Как и в предыдущем парадоксе, здесь играют роль только клетки, примыкающие к линии разреза. Остальные нужны лишь как оформ­ление.

В этом парадоксе суще­ствуют два существенно различных способа разрезы-вания фигуры на части. Можно начать с большого прямоугольника размером 3x10 единиц (верхняя часть   рис.   58),    аккуратно

 

Image

 

проводя в нем диагональ, тогда два меньших прямо­угольника (нижняя часть рис. 58) будут на еди­ницы короче своих кажущихся размеров. Но можно также начать с фигуры, составленной из двух акку­ратно начерченных меньших прямоугольников разме­ром 2x6 и 4x5 единиц; тогда отрезки, соединяющие точку X с точкой Y и точку Y с точкой Z, не будут составлять прямую линию. И только потому, что обра­зуемый ими тупой угол с вершиной в точке Y весьма близок к развернутому, ломаная XYZ кажется пря­мой линией. Поэтому фигура, составленная из частей малых прямоугольников, не будет в действитель­ности прямоугольником, так как эти части будут слегка перекрываться вдоль диагонали. Парадокс с шахматной доской, так же как и большая часть Других парадоксов, которые мы собираемся рассмот­реть в этой главе, тоже могут быть представлены в двух вариантах. В одном из них парадокс получается  за  счет незначительного  уменьшения  или

увеличения высоты (или ширины) фигур, в другом - за счет прироста или потери площади вдоль диагона­ли, вызываемых либо перекрыванием фигур, как в только что рассмотренном случае, либо появлением пустых мест, с чем мы вскоре встретимся.

Меняя размеры фигур и наклон диагонали, этому парадоксу можно придать самое различное оформле­ние. Можно добиться потери или прироста площади в 1 квадратную единицу или в 2, 3, 4, 5 единиц и т. д. Конечно, чем дальше вы зайдете, тем легче будет об­наружить,    куда    деваются    недостающие    квадраты.

 

Image

 
« Пред.   След. »
Яндекс.Метрика