О портале "Математика. ру" arrow В лесу arrow По длине тени
Математический портал Математику.ру

Ф. Клейн

... В математических работах язык играет весьма несущественную роль. Тут главное - содержание, идеи, понятия, а затем для выражения их у математиков существует свой язык - это формулы [142, с. 143].

 

По длине тени

Печать E-mail
11.10.2007 г.
 

Еще сейчас памятно мне то изумление, с каким смотрел я в первый раз на седого лесничего, который, стоя возле огромной сосны, измерял ее высоту маленьким карманным прибором. Когда он нацелился своей квадратной дощечкой в вершину дерева, я ожидал, что старик сейчас начнет взбираться туда с мерной цепью. Вместо этого он положил прибор обратно в карман и объявил, что измерение окончено. А я думал, еще не начиналось...

Я был тогда очень молод, и такой способ измерения, когда человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взби­раясь на верхушку, являлся в моих глазах чем-то вроде ма­ленького чуда. Лишь позднее, когда меня посвятили в начатки геометрии, понял я, до чего просто выполняются такого рода чудеса. Существует множество различных способов произво­дить подобные измерения при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.

Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался   ее   тенью.   Жрецы  и фараон,   собравшиеся   у   подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного при­шельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасывае­мой ею тени1). Вот, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени...

Задача греческого мудреца представляется нам теперь детски-простой, но не будем забывать, что смотрим мы на нее с высоты геометрического здания, воздвигнутого уже после Фалеса. Он жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тыся­челетий после его смерти. Заключенные в ней истины, извест­ные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения за­дачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника,- именно следующие два (из которых первое Фалес сам открыл):

1)  что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно-что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою;

2)  что сумма углов всякого треугольника (или, по крайней мере, прямоугольного) равна двум прямым углам.

 

1) Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.


Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был за­ключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в поло­вину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобед­ренный треугольник.

Этим простым способом очень удобно, казалось бы, поль­зоваться в ясный солнечный день для измерения одиноко стоя­щих деревьев, тень которых не сливается с тенью соседних. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент: Солнце у нас низко стоит над гори­зонтом, и тени бывают равны высоте отбрасывающих их пред­метов лишь в околополуденные часы летних месяцев. Поэтому способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

Нетрудно, однако, изменить этот способ так, чтобы в сол­нечный день  можно  было  пользоваться  любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из про­порции (рис. 1):

Image

Рис. 1. Измерение высоты дерева по тени.

AB:ab - BC:bc,      

т. е. высота дерева во столько же раз больше вашей собст­венной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее  вашей тени  (или  тени  шеста).   Это  вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и аbc (по двум углам).

Иные читатели возразят, пожалуй, что столь элементар­ный прием не нуждается вовсе в геометрическом обосновании: неужели и без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее? Дело, однако, не так просто, как кажется. Попробуйте применить это правило к теням, отбрасываемым при свете уличного фонаря или лам­пы,- оно не оправдается. На рис. 2 вы видите, что стол­бик АВ выше тумбы ab примерно втрое, а тень столбика больше тени тумбы (ВС:bс) раз в восемь. Объяснить, почему в данном случае способ применим, в другом нет, - невозможно без геометрии.

 
« Пред.
Яндекс.Метрика