О портале "Математика. ру" arrow Исчезновение фигур arrow Парадокс с линиями
Математический портал Математику.ру

М. Планк

Успехи естествознания и техники выдвинули [необходимость рассмотрения] в средней школе вопросов, изучаемых теперь обыкновенно в высшей школе; стало очевидным, что в настоящее время основные понятия исчисления бесконечно малых, аналитической геометрии и теории вероятностей должны быть достоянием каждого образованного человека [102, с. 3].

 

Парадокс с линиями

Печать E-mail
10.10.2007 г.
 

Все многочисленные парадоксы, которые мы здесь собираемся рассматривать, основаны на одном и том же принципе, который мы назовем «принципом скрытого перераспределения». Вот один очень старый и совсем элементарный парадокс, который сразу объясняет суть этого принципа.

Начертим на прямоугольном листе бумаги десять вертикальных линий одинаковой длины и проведем пунктиром диагональ, как показано на рис. 50.

Image 

Посмотрим на отрезки этих линий над диагональю и под ней; нетрудно заметить, что длина первых уменьшается, а вторых соответственно увеличивается. Разрежем прямоугольник по пунктирной линии и сдвинем нижнюю часть влево вниз, как это показано на рис. 51.

Image 

Сосчитав число вертикальных линий, вы обнаружите, что теперь их стало девять.   Какая   линия исчезла и куда? Передвиньте левую часть в прежнее положение, и исчезнувшая линия появится снова. Но какая линия стала на свое место и откуда она взя­лась?

Сначала эти вопросы кажутся загадочными, но после небольшого размышления становится ясным, что никакая отдельная линия при этом не исчезает и   не   появляется.   Происходит   же следующее:   восемь из десяти вертикальных линий разрезаются пунктир­ной линией на два отрезка, и полученные шестна­дцать отрезков «перераспределяются», образуя (вме­сте с двумя незатронутыми вертикальными линиями) девять линий, каждая из которых чуточку длиннее первоначальных. Так как приращение длины каждой линии весьма невелико, оно не сразу обнаружива­ется.    В    действительности    же   суммарная  величина этих приращений в точности равна длине каждой из первоначальных линий.

Возможно, суть парадокса выступит еще более явственно, если его иллюстрировать на камешках. Возьмем пять кучек камешков по четыре камешка в кучке. Переместим один камешек из второй кучки в первую, два камешка из третьей во вторую, три из четвертой в третью и, наконец, все четыре камешка из пятой в четвертую.  Рис. 52 поясняет наши действия.

Image

Рис. 52.

После такой передвижки оказывается, что кучек стало только    четыре.    Невозможно    ответить на вопрос, какая кучка исчезла, так как камешки были перераспределены так, что в каждой из четырех кучек прибавилось по камешку. В точности то же происходит и в парадоксе с линиями.

    Когда части листа сдви­гаются по диагонали, отрезки разрезанных линий пе­рераспределяются и каждая получающаяся при этом линия становится немного длиннее    первоначальной.

 
« Пред.
Яндекс.Метрика